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【三角形の問題】
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>三角形ABCにおいて、辺AB、BC、CAを >それぞれm:nに分割する点を順にD,E,Fとする。 >m、nを自然数として、 ベクトルでやってみました。ABベクトル、ACベクトルで表すと、 AD=(m/m+n)AB,AF=(n/m+n)AC,AE=(n/m+n)AB+(m/m+n)AC BCの中点をMとすると、AM=(1/2)(AB+AC) >(1)三角形DEFの重心と三角形ABCの重心は一致することの証明 △ABCの重心をG,△DEFの重心をG'とすると、 AG=(2/3)AM =(2/3)・(1/2)(AB+AC) =(1/3)(AB+AC) EFの中点をNとすると、DN=(1/2)(DE+DF) DG'=(2/3)DN =(2/3)(1/2)(DE+DF)=(1/3)(DE+DF) AG'-AD=(1/3)(AE-AD+AF-AD) AG'=(1/3)AE+(1/3)AF-(2/3)AD+AD =(1/3)(AD+AE+AF) =(1/3){(m/m+n)AB+(n/m+n)AB+(m/m+n)AC+(n/m+n)AC} =(1/3)(m+n)/(m+n)(AB+AC) =(1/3)(AB+AC) よって、AG=AG'より、重心は一致する。 >(2)どのようなm、nに対してもAE⊥DFとなるとき、 >三角形ABCはどのような三角形か。 m/(m+n)=a,n/(m+n)=bとおくと、 DF=AF-AD=-aAB+bAC,AE=bAB+aAC (AE・DF)=(-aAB+bAC)・(bAB+aAC) =-ab|AB|^2-a^2(AB・AC)+b^2(AB・Ac)+ab|AC|^2 =(|AC|^2-|AB|^2)ab+(b^2-a^2)(AB・AC) =0 どのようなm,nに対しても成り立つためには、 |AC|^2-|AB|^2=0,(AB・AC)=0であれば良いから、 |AB|=|AC|,AB⊥AC よって、△ABCは、∠A=90度の直角二等辺三角形
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- 中村 拓男(@tknakamuri)
- ベストアンサー率35% (674/1896)
No.6です。修正。/ 3 が抜けてました。 誤り ⇒三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c) = 三角形ABCの重心 正しい⇒三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c)/3 = 三角形ABCの重心
- 中村 拓男(@tknakamuri)
- ベストアンサー率35% (674/1896)
(1)A, B. C, D, E, F の座標を位置ベクトル a, b, c, d, e, f とすると d = (na+mb)/(m+n), e=(nb+mc)/(m+n), f=(nc+ma)/(m+n) 三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c) = 三角形ABCの重心 (2) ベクトルAE = (n(b-a)+m(c-a))/(m+n) ベクトルDF = (n(c-a)+m(a-b))/(m+n) AE・DF = (n^2-m^2)(b-a)(c-a)/(m+n) + mn((a-b)^2-(c-a)^2)/(m+n) = 0 これが任意の m, n で成り立つには (b-a)(c-a)=0⇒ AB⊥AC (a-b)^2-(c-a)^2 = 0 ⇒ ABの長さ = AC の長さ つまり頂角Aが直角の2等辺三角形ですね。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
計算ミスはしてないが うっかりミス。 三角形ABC は BCを斜辺とする“直角二等辺三角形”。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
書き込みミスと多分 計算ミス。 >A(0、1)、B(-b、0)、C(c、0) 、b<0、c>0としても一般性を失わない。 b>0 のミス。 >直角に交わるから 傾きの積=-1.計算して整理すると (1-bc)m^2-(b^2-c^2)mn-(1-bc)n^2=0 常に成立するから、全ての係数=0.計算すると a=b=c=1。 つまり、正三角形の時。 a=b=c=1の時は、二等辺三角形にしかならない。 方針は間違ってないはずだから、(2)の初めから 計算をチェックしてみて。 計算ミスは 日常茶飯事なんで。。。。w
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
書き込みが 大変面倒なので 略解を書いとくから 答案の完成は自分でやって。 座標に持ち込んでしまえば、単純な計算問題に過ぎない。 A(0、1)、B(-b、0)、C(c、0) 、b<0、c>0としても一般性を失わない。 (1)ABCの重心は{(c-b)/3、1/3}。3点D、E、Fの座標は D{-bm/(m+n)、n/(m+n)}、E{(cm-bn)/(m+n)、0}、F{cn/(m+n)、m/(m+n)}。 この3点の重心の座標を計算すると、{(c-b)/3、1/3}に一致する。 (2) 直線AEの傾き=-(m+n)/(cm+bn)。直線DFの傾き=(n-m)/(bm-cn) これが直角に交わるから 傾きの積=-1.計算して整理すると (1-bc)m^2-(b^2-c^2)mn-(1-bc)n^2=0 常に成立するから、全ての係数=0.計算すると a=b=c=1。 つまり、正三角形の時。
- chie65535
- ベストアンサー率43% (8519/19367)
直感で(2)だけ。 たぶん、∠Aが直角な直角二等辺三角形だと思う。 直感なので「解いて」はいません。
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