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ベクトル
独学なので、出来ればやさしめにお願いします。 △ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点D、E、Fがあり、△ABCと△DEFの重心が一致するとき 、BD:DC=CE:EA=AF:FBを証明するんですけど、 重心の一致ならわかるんですが、BD:DC=CE:EA=AF:FB を証明するとなると、どうしていいかわかりません。 解説には、Aに関するベクトルで考えると書いてあるんですが、さっぱりです。 お忙しい中申し訳ないですが、解説お願いいたします。
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Aに関するベクトルで考えると書いてあります。 位置B、位置CはベクトルAB,ACというベクトルで表されます。(矢印は省いています。) これはすぐにわかると思います。 ほかの点はどう表すのかです。 B、C以外の点を表すベクトル、それらの点を結ぶベクトルをすべて共通の2つのベクトルで表す(この場合はAB,AC)というのがポイントです。 △ABCの重心の位置を中線の交点から求めるというのもこの方法でやります。 AG=(2/3)(1/2)(AB+AC) (1) がでてきます。 (この出し方は省略します。「交点」という条件をベクトルでどのように表すかがわかりにくいかも知れません。(1/2)(AB+AC)はAからBCの中点Nに引いた中線を表すベクトルANです。) △DEFの重心G’に上の結果を流用します。 FG’=(2/3)(1/2)(FD+FE) AG’=AF+FG’ (2) ここでF,D,Eの位置を決めます。 AF=xAB BD=yBC CE=zCA この関係を(2)に入れて出てくるベクトルをすべてAB,ACで表します。 この結果は(1)に一致するはずです。 係数が等しいということから x=y=z がでてきます。 これで証明ができました。 やってみてください。
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- ma-cyan369
- ベストアンサー率43% (7/16)
△ABCの重心を→gとおくと、→g=(→a+→b+→c)/3。 ここで、BD:DC=CE:EA=AF:FB=t:1-tとおいて、 △DEFの重心→g'を求めて、→gと一致すれば、 BD:DC=CE:EA=AF:FB=t:1-tが成り立つので、証明が出来ると思います。
お礼
回答ありがとうございました
- 4028
- ベストアンサー率38% (52/136)
解説通りにやるなら 例えば ABは→b (矢印はべクトル) ACは→c など自分の好きなように ベクトルを考えて解けばいい
お礼
回答ありがとうございました
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
「A に関するベクトルで考える」 というのは、たぶん… 点 A 上に原点を置いて 各点の位置ベクトルに名前を付け、 問題文中に書かれた諸条件を ベクトルの関係式に翻訳して考える …と言いたいんだと思います。 やってみてください。
お礼
回答ありがとうございました
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お礼
さっそくやってみます。 忙しい中、ありがとうございました