重積分

質問

以下の面でできた体積を３重積分で求められると思うのですが
わかる方いましたらご教授お願いできますでしょうか。
（球を２つの面で区切った体積です。）

（x+a）^2＋y^2＋z^2＜r^2　・・・　（１）
x＞0　・・・　（２）
z＜h　（-ｒ＜h＜ｒ）　・・・　（３）

宜しくお願いいたします。

回答No.2

alice_44

三重積分と言ううちに、dx dz は図形的に処理して、
最後の dy だけ計算で決着すればよいかとは思う。
しかし、y=定数 での断面積を求めるにあたり、
h と √(r^2-a^2) と √(r^2-y^2) の大小関係で
場合分けしなければならないのが、正直しんどい。

√(r^2-h^2) と a と |y| の大小で場合分け。
√(r^2-h^2) と a の大小くらいは問題で
与えられていると、計算してみる気も興きるのだけれど。

補足

ご指摘ありがとうございます。
下にも補足致しましたが、

条件は、ｒ：r>0、a：-r<-a≦0、h：-r≦h<0　になります。

お時間ありましたら計算くださいますでしょうか。
宜しくお願いいたします。

回答No.1

info22_

r,a,hなどの文字定数を含む問題では文字定数についての条件を書くようにして下さい。そうでないとやたら場合分けが発生します。
問題を単純にするために文字定数の条件はどうなっていますか？

rはr>0のようですね。

r>0とします。
aの場合分けとして
-a≦-r,-r<-a≦0,0<-a≦r,r<-a
hの場合分け
-r≦h<0,0<h≦r
が必要でしょう。

これらのa,hの条件がなければ、a,hのすべての場合の組合せについて重積分を求める必要があります。
場合分けしなければ体積を一つの重積分の式で表せません。

全ての場合について体積計算を丸投げして回答を求めるのではなく、自力で出来るところは、自力解答を作り補足に書いて分からない箇所だけ質問していただけないですか？

r>0, -a≦-rの場合
　V=0
0<r<-a, -r≦h≦rの場合
　V=2π∫[-r,h] (r^2-z^2) dz
r>0, -r<-a≦0, -r≦h≦0の場合

0<-a≦r, 0≦h≦rの場合

等々

のいずれかに限定して取り上げると具体的に扱えるでしょう。

補足

ご指摘ありがとうございます。

条件ですが、ｒ：r>0、a：-r<-a≦0、h：-r≦h<0　になります。

自分でも3重積分について学んでる最中なのですが
未だ理解が至らず、式の立て方がなかなかわかりません
（＞＜）
お時間ありましたらご教授お願いできますでしょうか。
ご検討宜しくお願いいたします。