積分について質問があります

質問

曲面z=x^2+y^2と球x^2+y^2+x^2=a^2の共通部分の体積を求めたいのですが
積分範囲がよくわかりません
教えていただけると幸いです

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

z=x^2 (y=0) ...(1), z^2=a^2-x^2(y=0) ...(2)とz軸で囲まれたxz平面図形をz軸の周りに回転してできる立体の体積であるから、z軸の周りの回転体の体積公式を使って体積を求めればよい。

(1)と(2)の交点のz座標を求めると
　z^2=a^2-z, z=(-1+√(1+4a^2))/2(=z1とおく)

V=V1+V2

V1=π∫[0,z1] x^2 dz=π∫[0,z1] ｚ dz=π[z^2/2][0,z1]
=π(1+2a^2-√(1+4a^2))/4

V2=π∫[z1,a] x^2 dz=π∫[z1,a] (a^2-z^2) dz=π[a^2*z-z^3/3][z1,a]
=π{(1/3)(2a^3)-(1/6)(1+(2a^2-1)√(1+4a^2))}

V=(π/12){8a^3+6a^2+1-(1+4a^2)√(1+4a^2)} ...(答)

お礼

回答ありとうございます
なんとかできそうです
（質問入力ミスしていました・・・）