積分？？

質問

x^2+y^2+z^2≦9と3x^2+3y^2-z^2-6z-9≦0の両方を満たす領域の体積を求めよ。

という問題です。。。
最初は積分で解くのかなと思ったのですが、だんだん分からなくなってきました。
助力の程ヨロシクお願いします。

回答No.3

banakona · ベストアンサー

＃２です。

3y^2-z^2-6z-9≦0は、ｚ軸周りの回転体でした。

＃１の図で、左半分は放物線としましたが、実際にはｙ＝（ｚ＋３）／√３という直線です。この直線は右半分まで伸びて円を切り取ります。円との交点はｚ＝３／２で、ここより左は円錐、右は球の一部となります。
体積は
　Ｖ＝π∫[-3→3/2]（（ｚ＋３）^2）／３ｄｚ＋π∫[3/2→３]（９－ｚ^2）ｄｚ
で求まります。お騒がせしました。

お礼

なかなか立体の考え方が、イメージがわきにくく厄介でした。
3x^2+3y^2-z^2-6z-9=0というのは、円錐面の方程式だったんですね(^^;)
実際に自分で、円錐と球をyz平面で切った図を描いてみたら、よく分かりました。
そして、回転体の体積の求め方で、それぞれの範囲を積分するしたものを足し合わせると、
求められる。。。
扇形をz軸で回転させたような回転体が、今回求める体積。

なかなか苦労しました。。。
分かりやすい説明、ありがとうございました！！

回答No.2

banakona

＃１です。

大チョンボをやりましたので＃１はお忘れください。訂正回答が出来しだい再投稿します。

回答No.1

banakona

あくまでアドバイスです（というか回答にたどり着かなかった）。

x^2+y^2+z^2≦9は中心が原点、半径が３の球。
3x^2+3y^2-z^2-6z-9≦0を変形するとx^2+y^2≦（z+3)^2／３
「領域」をｙｚ平面で切ると、左下のような図になる。
　　　　 　　　y　　　　　　　　　左半分は放物線ｙ＝（z+3)^2／３
　　　　　　　　↑　　　　　　　　右半分は中心が原点、半径３の円。　　
　　　　　　　　｜３　　　　　　　
　　　　　　　 /├──　　　　　　（実際にはｚ軸と対称に下半分にも
　　　　　　　/ ｜　　　＼　　　　同じ図形がある。）
　　　　　　/　｜　　　　 ＼　　　　右半分は半球なので体積は簡単に求められる。
＼　　　／　　｜　　　　　 ｜　　　　左半分は、放物線を本図に垂直に平行移動
─┴───┼───┴─→ｚ　　　　させればいいんだけれど、当然のことながら
　-3　　　　　　Ｏ　　　　３　　　　　「放物線によって切り取られる円」の半径は、ｙｚ平面から離れるにつれて

小さくなり、ついには切り取られないほど円が小さくなる。
そこで、放物線 ｙ＝（z+3)^2／３と円 ｚ^2+y^2＝ｒ^2が接するときのｒを求め、その接点（ｘ０、ｙ０、ｚ０）を求める（注意：x^2+y^2+z^2≦9と3x^2+3y^2-z^2-6z-9≦0の接点ではない。なにしろ両者は交わるのだから。）。
ここで、３次方程式を解く必要が出てくる。数値的に求めると接点はだいたい（2.529,1.043,-1.231）らしい。
だから、-2.529≦ｘ≦2.529では、球体から放物線（放物面？）を切り取った図形、
　　　　-３≦ｘ≦－2.529および2.529≦ｘ≦３では、球（の一部）
を積分で求めて、これらに先の半球を加えればいいんだけれど、接点の解析値が求めにくいので挫折。

ひょっとすると不定積分を求めて接点の値を入力すると綺麗な値になるのかもしれないけれど・・・