数学の長さと物理の長さ

質問

自然界の物理的な長さを数字で表すときには、連続体を表す数字（実数）を使って、有効数字の桁数を維持します。

数学における連続体は際限なく半分にしていっても、依然として連続体です。
しかし、自然界（=物理学）においてはプランク長までは半分にする意味があっても、プランク長を半分にする意味はないと聞きました。

このことは、自然界の（物理的な）長さを扱う数値は、プランク長を１とする自然数でも必要十分ということでしょうか？

仮にプランク長よりももっと短い長さが自然界で意味を持っているとしても、その未知の長さを１とした自然数で自然界を記述することができると考えて良いのでしょうか？

自然界が連続体なのか、離散的なのか、に興味があって質問しております。

回答No.5

multi-otaku · ベストアンサー

「別の可能性として宇宙空間の曲率がゼロ（超平面的空間）であって、しかも現在は無限の空間であるというものでした。」

・ビッグバン理論は、盲目的に信じられているわけではありません。
「赤方偏移」と「背景放射」で検索してください。

仮にビッグバン理論が間違っていると仮定しても、曲率ゼロは無理です。それは重力によって空間が曲げられているからです。
ハッブル宇宙望遠鏡などによって、「重力レンズ」の影響で、蜃気楼のようにまったく同じ銀河（向き、細かい形、スペクトル）が２つ以上観測されています。少なくとも宇宙は、仮に閉じていないとしても、ゆがんでいるというのは確かです。
・「オッカムのかみそり」という考え方があり、「一般的に単純な方が正しい」です。それが勝利を収めたのが地動説でした。
曲率ゼロの宇宙区間を説明するのは、きわめて難しいです。そうしなければんらない矛盾点も特にありません。

宇宙がブラックホールによって閉じていないと仮定しても、体積は有限と考えた「方がいい」です。
理由は、例えば１００平方ｍの土地に直径１ｍの大きな穴が開いていて底が見えないとします。それでも面積は１００平方ｍと考えます。
もっと言えば、ブラックホールの体積、重量が宇宙全体にどう影響するか、よくわかっていません。数学でも「特異点の解消」は非常に難しく、物理学では朝永博士の「繰り込み理論」とかあるのですが、決定版とは言えません。

数学や物理学のいろいろなアイデアに遊ぶのは楽しいですね。
特に宇宙（特に時間）が離散量か実数的連続量どうかは、理論物理学の（解決法の見当もつかない困難な問題故にあまり記述されない）根幹的問題です。そこまで独力でたどり着いたことに敬意を表します。

大昔コンピュータで有限要素法で苦労したことを思い出しつつ、いろいろ申し上げてすみません。

お礼

たくさんのキーワードを頂きました。有難うございます。

何にもまして、「そこまで独力でたどり着いたことに敬意を表します。」のお言葉嬉しいです。

multi-otaku先生が高校の物理の教員だったら私は物理学に進んだかもしれませんね。

30数年前、CDCやCRAY-1を計算機科学に使う人がいた一方で、私たちは商売につかっておりました(T_T)

回答No.7

雪中庵（@psytex）

プランク長というのは、物質的な長さではなく、不確定性原理の
相補性（時空的計量とそこにおける性質が両立しない）に基づく
時空性も（観察者も）包含した、いわば意味論的限界です。
「もっと細かく分割する」＝その内へも連続的に時空が延長でき
るという考えは間違いです。

「連続体か不連続か」という問いには、『自分の外に独立した
実体を持つ「存在」がある』という、いわゆる素朴唯物論が先入
していますが、それを否定するのが不確定性原理＝量子論的
世界像なのです。
通常、「存在」とは、時空的な領域を占めた、有限な性質を持つ
ものを意味しますが、その「位置(S)と運動量(St)」と「時点(T)と
質量(Ts)」が両方そろった形で確定できない＝二対それぞれ、
一方を確定しようとするともう一方が無限不確定性(=無)へと
発散するのです。

長さも時間もエネルギーも、全てのものは量子的に不連続です。
なぜなら、超弦理論において「全てのもの」は量子からのみ
成っているからです。
素朴唯物論を支える「物体」は、その上の階層現象表面的な
定性化（経験によりいい加減に捉える）によって二次的に派生
するものに過ぎません。

お礼

有難うございます。

素朴唯物論か何か存じませんが、私は、私がこの世に誕生する以前からこの宇宙があったと信じている方なんで、、、。

回答No.6

noname#221368

時空間に最小単位がありそうだという話は、けっこうな人達が薄々感じているのかも知れませんが、現在のところ確証はありません。また確証が得られたとしても、自然を連続体にマップする事の有用さは失われません。

＞このことは、自然界の（物理的な）長さを扱う数値は、プランク長を１とする自然数でも必要十分ということでしょうか？

　あるいはそうなのかも知れませんが、これも自然の一部を切り取った、一つの数学モデルに過ぎない可能性には、注意して下さい。連続体へのマップが決定論的世界を導こうと、それは自然の数学的モデルとして、十分に有用なものです。じっさい量子力学においても、波動関数そのものを定めるシュレーディンガー方程式は、決定論的結果を与えます。しかしそれだけでは済まない事も、物理は意識しています（射影原理：　波束の収縮など）。

　数学的マップは、数学モデルを指定するだけです。その結果に対する意味付けや解釈が、物理の本領だと思います。なので一見、

＞・・・観測事実をもっともよく近似する数式を発見しますが、一旦その数式を公式として認めると、そもそも近似式の成立した範囲（パラメーターの範囲）を忘れて、前後に拡張して公式を使う傾向があるのではないかということです。

という事態は、けっこう頻繁にあり得ます。数学的結果は、物理的解釈への導きの糸だからです。物理は数学を、いわば観測装置として用います。20世紀に前後に拡張して最も成功した例は、ディラックの陽電子論と電子のスピン，一般相対性理論ではないかと、個人的には思います。そしてこれらには、前後に拡張しようと思うだけの、明確な物理的根拠なり動機付けがあります。観測装置としての数学から得られた、数学的結果に対する意味付けや解釈が、物理の本領だからです。

　ブラックホールの特異点について言えば、特異点があっては不味そうなので、最小長さを持つ、量子効果の考慮が必要でないか？、となります。ここに、特異点を持つ、という数学的証明の物理的価値があります。

　虚数時間について言えば、ホーキングの「無境界仮説」が動機になっています。「無境界仮説」とは、宇宙の様子について従来は、宇宙を外から眺めたかのような条件付け（境界条件）が必要だったが、もし宇宙はその内部状態だけで自律的に条件付けを生み出せるのなら、それはどんな境界条件の形を取るだろう？、というのが動機です。結果として虚数時間が出て来た訳ですが（詳細はご勘弁を・・・(^^；)）、ホーキングもやり過ぎだったと認めていますけれど、これだって数学的試論として多くの研究者に示唆を与えたはずです。

　結局、宇宙が本当に有限であっても、宇宙の現象を記述する数学的座標系として、無限の時空間は常に想定できます。その中で、「物理法則」により、「物理的時空間（我々が原理的に観測できる）」が上手く丸まって、有限の宇宙ができれば良い訳です。これが、物理と数学の違いだと思います。マップによって得られるのは、数学モデルだけです。

お礼

回答ありがとうございます。

＞また確証が得られたとしても、自然を連続体にマップする事の有用さは失われません。

実数などの連続系数学の有用性が失われると申しておるのではなく、離散数学にマップすることの価値、有用性が増大するのかな、と。

回答No.4

chiha2525

＞虚数時間などと、時間(=自然界）をまたまた数学にマップして、数学上の現象を物理学に適用しようとしてんじゃないの？

私には逆に、数学の限界を物理学に適用しようと、あなたがしているように思えますが。

お礼

コメント有難うございます。

＞数学の限界を物理学に適用しようと、あなたがしているように思えますが。

それほど判っている訳ではないのです。

回答No.3

multi-otaku

「線形の公式などは大体が、線形である範囲でしか成り立たない（近似しない）のに、非線形領域まで拡張して数式をいじくったりしていませんかね。」
・アインシュタインの最初の業績は、それを打ち破ったものでした。それを物理学者は頭にたたき込んでいるので、そういう例は少ないと思いますので、具体例を知りたいです。
また理論物理学者の使う数学的道具の基礎は偏微分方程式ですので、元々線形性など期待していません。

「仮に自然界を連続体に写像可能とすると、ニュートンやケプラーの時代みたいに、現在の状態(=初期状態）にパラメーターを与えると未来が決定できると言う事になってしまう気がするからです」
・これを打ち破るのが「カオス理論」でした。元々偏微分方程式を解くのに、厳密な測定や過程が非常に困難な「境界条件」によって解が非常に動くので、物理学者は決定論に批判的でした。
・また量子論はアインシュタインが批判したように「神様がさいころを投げる」理論です。確率でしかものが言えません。たとえばよく使う原子核のまわりに電子が回っている図ですが、本当は軌道が決定できないので、「電子雲」といいます。
・また「三体問題」というのがあるのですが、コンピュータで数値計算をすると、全く数式で表せそうもない運動（30回くらいぐちゃぐちゃ近づきあって最後に離ればなれになる）をすることは40年前から知られています。３つの物体が重力だけでお互いに影響し合っているだけで、とんでもないことが起きるので、現実世界がそう単純ではないことは明らかです。
「自然界は離散的であって、無数の０か１かのギャンブルをしている結果が未来であると考えた方が面白いですよね。」
その通りです。今の物理学の主流です。

「アレフ０とアレフ１の中間があるという立場をとって物事を考えている御仁もおりますのでっしゃろか。
・コーエンは中間が成立できることを証明したので、そう考えている人もいますが、物理学的にはどうしようもない世界です。
（何とかできれば、自然界がどうなっているかわかります。自然界が離散的か実数的かということより数段困難な道でしょう）

お礼

有難うございます。

先生は、物理学の専門家であり、なおかつ数学にもお詳しいのですね。

素人的には、連続性のある物理現象をマッピングするには現在の実数を使う数学が良いのでしょうが、量子論など離散形をマッピングするにはそれ用の数学（公理系）を開発した方が良いのじゃないかという気がします。
物理学における量子論の進歩ほどには、数学の分野では離散形が進歩していないのかしら、、、。
数学は物理学と違って、公理系を造れば良いので、離散形の処理に最適な公理系を定義できる人が現れると良いですね。

回答No.2

multi-otaku

No.1の補足

Mokuzo様は
「最近の自然科学によれば、時間は連続量では無く、離散的なものかも知れないと言われています。実数で写像するのではなく、半開区間における自然数で写像するのが最も理にかなっていると理解される時代がくるかもしれませんね。
数学の話題からそれて申し訳ありませんでした。投稿日時 - 2011-04-20 10:31:29」
という表現をされているので、相当数学や物理学にお詳しいように見えますが、質問の意図をお知らせいただけますか？

またホーキングが虚数時間を導入したことを、「おかしなことだ」と思える表現を使っておられます。ホーキングの試みを評価できる方の質問とは思えません。

お礼

補足ありがとうございます。

私は大工の棟梁でして（少々広い意味で）色々作ってきたのですが、２００年も３００年も前の、有限要素法も知らない時代の棟梁が造ったものにかなわないということがわかってしまったので、職業はソコソコにして、興味のある自然界や数学の勉強を始めたところなのです。

素人ながらホーキングの虚数時間の導入に懐疑的なのですが、これは従来から感じている”物理学者の数学依存症”に対する疑問からです。
つまり、物理学者は自然現象を観測し、観測事実をもっともよく近似する数式を発見しますが、一旦その数式を公式として認めると、そもそも近似式の成立した範囲（パラメーターの範囲）を忘れて、前後に拡張して公式を使う傾向があるのではないかということです。

線形の公式などは大体が、線形である範囲でしか成り立たない（近似しない）のに、非線形領域まで拡張して数式をいじくったりしていませんかね。

ブラックホールの中心の密度が無限大という主張は数式上の特異点があることからこの仮説を主張する様ですが、そもそも特異点まで含めてその公式が自然現象をよく近似しているものだったのかどうかの議論がなおざりされいるっちゅう事は無いでしょうか。

まあ、上等な物理学者ならそんなことは無いはずですが、２００年前の棟梁よりも力量が劣る人間がツールを使って超高層ビルを設計しているという現実をみると、物理学方面はどうんなんじゃろうという疑問も払拭できんわけです。

そんな疑問をもっていたときに、虚数時間などと、時間(=自然界）をまたまた数学にマップして、数学上の現象を物理学に適用しようとしてんじゃないの？ってな疑問を持ったわけです。まあ、無学の大工がホーキング大先生の説に疑いをはさむなんてのは許されないことなんでしょうけど。

補足

過去質問までお調べいただき恐縮です。

数学や物理学に詳しいわけでは無くて、宇宙の体積とか質量などに興味をもってしまっために、諸説を勉強していたところ、「宇宙の体積が無限である」可能性（＝仮説？）に出くわしました。
この方の説明によれば、宇宙空間が（トポロジ的に）閉じた空間であれば、容積は有限で、はて（果）が無いのですが、別の可能性として宇宙空間の曲率がゼロ（超平面的空間）であって、しかも現在は無限の空間であるというものでした。
現在が無限の空間であれば、最初から無限の空間でなければなりません。なぜなら有限の空間が時間経過後に無限の空間に変化する可能性は無い（説明できない）からです。

宇宙の体積（容積）が無限であるとすると、平均密度がゼロでない限り、宇宙の総質量が無限になるわけで、そんな訳は無いだろう、という直観（(笑)）から宇宙の構成単位（素粒子）などにも興味を持つようになった次第です。

残念ながら無学なために自分で数式を解析して世界を理解する能力に欠けておるため、この場を借りて質問をさせて頂いております

回答No.1

multi-otaku

数学において、数が連続体であるかははっきりわからないです。
正確に言えば「決定できない」「実数が連続体であるか言えない」です。

[歴史]
・19世紀にゲオルグ・カントールが提出した説は「連続体仮説」と呼ばれました。
・1900年ダフィット・ヒルベルトは重要な未解決問題「２３の問題」の1番目にこれをあげました。
・ちょうどそのとき、クルト・ゲーデルが「数学には解けない問題がある」ことを証明しました。
・しかし、「まさか数学の中心に位置する重要なこの問題が解けないはずがない」と思われていました。
・1963年ポール・コーエン（まだ学生）が、「連続体仮説は証明できない」ことを証明しました。
　　　　　「連続体仮説」http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC

自然界が連続体かどうかははっきりしていません。決定する方法も見つかっていません。

とりあえず今の物理学では、自然界が量子化されて（離散的になって）おり、プランク長さが最小の長さとされています。
しかし、量子ひも理論では、ひもの長さ、太さ、間隔などがプランク長さより短い可能性があります。
もっともひもにそのような物理量を適用できない可能性が高いのですが。

また、数学的実体が物理的に発見されてきた歴史（例えば古くは０、虚数の物理的応用など）を考えれば、自然界が量子化されていない可能性（実数で表される状態）を捨て去る訳にはいかないと思います。

若い方ならば、挑戦してみてはいかがですか？
（私は「生きているうちに解決を見ることはできないだろう」です）

量子化されていないことがあること、または自然界は必ず量子化されていることを証明できたら、ノーベル賞は確実です。（学会の壁を打ち破るのは大変ですから、早めに別の研究で教授ポストを得てから発表しましょう。）

お礼

回答ありがとうございます。

＞自然界が連続体かどうかははっきりしていません。決定する方法も見つかっていません。

将来、マックスプランクよりも「細かい」親爺が現れて、別の単位系を提唱することがあるのでしょうね。

数学や物理の学問的な根拠を持って主張する訳ではないのですが、自然界が連続体であったら拙いという気がします。

仮に自然界を連続体に写像可能とすると、ニュートンやケプラーの時代みたいに、現在の状態(=初期状態）にパラメーターを与えると未来が決定できると言う事になってしまう気がするからです。

自然界は離散的であって、無数の０か１かのギャンブルをしている結果が未来であると考えた方が面白いですよね。

実はビッグ・バン仮説を唱えた人も、時間をマイナス方向に進めているだけで、未来と過去が機械論的に決定できるという連続体的な発想で仮説を主張しているのではないかと想像しています。

補足

前提条件が不足しておりました。
私としては、ZFC＋連続体仮設を無意識に公理系としておりました。
なんせ、色々考えた結果、アレフ０とアレフ１の間は無いだろうと「思う」(笑）に至ったからであります。当然、証明はできまへん。

これは個人の好み、選択の問題ですけど、実際のところ、アレフ０とアレフ１の中間があるという立場をとって物事を考えている御仁もおりますのでっしゃろか。

自然界が離散的なのか連続体に写像できるのかに関しては、この正月あたりから気になりだして、色々考えておるのですが、時間を例にとると全開区間なのか半開区間なのかで、宇宙の始まり＝ビッグ・バン仮説に吸い込まれてゆくものですから、今回は長さを例にして質問してみた次第です。