おもりをつけたばねを回転させる問題

質問

質量mのおもりをつけたばね定数kのばね（自然長はL）を水平面上に置き、他端を固定します。
角速度ωで回転させて、ばねの伸びをxとして、
つり合いの式を立てると、

kx=m(x+L)ω^2
となります。これをxについて解くと、
x=(mLω^2) / (k-mω^2)

しかしω^2=k/mとなる角速度にすると、xが無限大となり
ばねは無限に伸びてしまいます。

実際問題、このようにばねの伸びが無限になる角速度にすると、
ばねは壊れてしまうということでよろしいでしょうか？

また、壊れてしまうということは、実際にはこの角速度を超える速さで
回転させることはできないということでしょうか？

その角速度の値より大きくしていくと、ｘは負の値になるので、ここも納得が
いきません。ある一定の角速度を超えると、ばねは自然長より縮むことに
なってしまいますけど。

よろしくお願いいたします。

回答No.5

Quarks · ベストアンサー

自然に（＝現実的に）考えることにしませんか？

初め、オモリはゆっくり回転しています。バネもそんなに伸びていません。
だんだんオモリの回転の速さが増していくと、バネがそれなりに長く伸びていきます。
さらに、回転を速めていったら…
という『実験』を想定します。
回転を速めていくとどうなるかは、方程式から導かれる情報を元に、考えることになります。

計算上では　ω^2=k/m　となると、伸びが ∞ になってしまう、という情報が得られました。

ということは、それよりちょっとだけ小さい角速度で回転しているときには、伸びは少し小さかったはずですから、バネは有限の長さに伸びていたことになります。もっとも、その値はかなり大きく、現実のバネなら、伸びきるというよりも引きちぎられてしまっているだろうと想像できます。
こう考えれば
　ω^2=k/m　
の回転自体が実現できないということだと、判断できるはずです。

もちろん、　ω^2=k/m　ですら実現できないのですから、それ以上大きな角速度で回転するということも、不可能です。起こりえないことを、計算しても意味が無いのではないでしょうか。
計算上　伸びが負になる、ということをそのまま真に受けることは間違いだということです。

余談ですが、他の場面でも同じ様な処理を必要とすることがあります。
（例）地上　２４.５[m]の地点から、真上に向かって １９.６[m/s]で投げ上げたボールが、地上に到達するのは何秒後か？
この場合、公式　ｘ＝ｖ0・ｔ－(1/2)ｇt^2　を使った計算では
ｔ＝５[s]、－１[s]となりますが、－１[s]は物理的に意味が無いから棄てています。
投げる１[s]前に地面にあった、などと、誰も本気で考えるはずがありません。
このように、物理的に（＝現実的に）考えるのが良いと思います。

数式（方程式）は、現実を解釈するための情報を与えてくれるもので、それを使った結果得られた情報をどのように解釈するかは、我々人間にかかってきます。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

No.1　です。よく考えたら、x が負の場合は
x < -L になります。ばねは L以上縮められないので
「解はない」「釣り合いは無い」ということですね(^^;

回答No.3

foomufoomu

最初の式にもどって
＞kx=m(x+L)ω^2
これに
＞ω^2=k/m
を代入すると
kx=k(L+x)
になります。これが成立するのは、L=0　か　x=∞　の時です。

さらにもっと大きなωとして
ω^2=2k/m
を仮定すると
kx=2k(L+x)
これより
x=-2L
つまり、L=0をとおりこして、バネの長さより反対側におもりがくれば釣り合う、ということでしょう。
たんに釣り合い式を満足しているだけのことで、実際にはそうはならないと思います。（深く考えてないですが）

回答No.2

LHS07

錘が水平面上で回るときの摩擦係数μが入っていません。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
書き忘れましたが、なめらかな水平面上です。
摩擦は無視します。申し訳ありません。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

バネが伸びたとき、弾性力の増大より、遠心力の増大が
大きいとバネの伸びが止まらないので、ばねは切れて
しまうでしょうね。

ただ、角速度を保つには、バネのおもりを回転中心からの直線
に沿ってして動かないように支えるレールを敷くする必要があり、
レールは一定の角速度で動く必要があります。
おもりはそのレールから角運動量をもらってバネを振り切るという
ことになります。

レールが無い場合で、角運動量一定の場合も計算すると面白いかも。

>ｘは負の値になるので、ここも納得がいきません。

不安定な釣り合いが存在するというだけで、それに向かって
バネが縮むわけではありません。

お礼

回答ありがとうございます。

不安定なつり合いになるとどうなるかということなんですが、
ω^2＞k/mとなると、水平方向のつり合いの式は遠心力の方が
大きくなってしまいます。
つまり、このときは固定していたばねがはずれたり、ばねが切れたり
といった状況が発生し、円運動を保つことができないと考えて
よろしいでしょうか？

また、ばねが切れなかったり、はずれなかったりした場合は、角速度が
一定にならず変わってしまうということでしょうか？