バネ定数に関する物理の問題について

質問

物理の問題で、次のような問いがありました。

バネ定数k（Nm^-1)のバネの一端を固定し、他端に質量ｍ（kg)の物体をつけて水平な卓上に置く。
バネのつりあいの位置を原点として、バネの伸びる方向にｘ軸をとる。次の問いに答えよ。

１）この伸びがｘ（ｍ）のとき、この物体に働く力Ｆ（Ｎ）を符号を考慮して求めよ。
２）このときの運動方程式
３）今、時刻t=0(s)の時、バネをＡ（ｍ）だけ伸ばして手を離した。運動方程式を解いて時刻ｔの時の
　位置および速度を求めよ。

特に、（３）の問題の解き方がわからないので教えてください。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

＞３）今、時刻t=0(s)の時、バネをＡ（ｍ）だけ伸ばして手を離した。運動方程式を解いて時刻ｔの時の
＞　位置および速度を求めよ。

この「運動方程式を解いて」や、バネ定数の単位の表現から、
大学物理の問題でしょうから…

高校生風に書けば、運動方程式は、ma = -kx、
これを大学生風に直すと、m*(d^2)x/dt^2 = -kx なので、
#1さんの回答のように、(d^2)x/dt^2 = -(k/m)x という、
２階線形微分方程式を解く、

これが本筋なのは、間違いないのですが、
微分方程式の解き方には色んなやり方があり、
特に、数学でなく、物理の問題として解く場合だと、
教科書や先生によっては、正攻法でなく、相当な
便法を使うことが認められることもあります。

試験勉強なら、教科書や授業内容を、
記述問題で「解く」場合、どこまで書かないといけないか、
どこまでの便法が認められるのか、をチェックしておいた
方がいいかもしれません。

便法とは、

例えば、(d^2)x/dt^2 = -(ω^2)x (ω＞0) の解は、
x = a*sin(ωt+α) = a*cos(ωt+β)のように
なるのを、知っていて使っていい場合、
条件から、t=0のとき、x=Aで、a=Aなのは明らかだから、
x = A*cos(ωt) とできて、
ω^2 = k/m だから、ω = √(k/m)、
を代入したらできあがり、速度は、xをtで微分して、

という程度で、OKかも、というようなことです。

正攻法の微分方程式の解き方の中にも、
未定係数法のように、こんな感じになるんじゃないかな？
という式を代入して、成り立つように、係数いじる、
なんて、やり方もあるので、これだって、必ずしも、邪道と
いう訳じゃない、要は、先生がこういうのを、許してくれる
かどうかです。

このあたりは、学校・学部・先生によって、許容範囲は
色々なので、チェックしておいた方がいいかも。

回答No.1

Willyt

２で微分方程式が出来ている筈で、それは２階の線形微分方程式になっていますね。これを解いてできるｘは時間ｔの函数となっており、２個の積分定数が入っている筈です。３の場合 t=0　のとき dx/dt =0 と x=A という条件からその定数を決めればいいのです。