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ばねの問題

軽いつる巻きバネの一端を天井に固定し、他端に質量m[kg]の小球をつるしたところ、ばねがx0[m]伸びた位置で釣り合った。この位置から小球を下方へA [m]ひいてはなしたら、小球は釣り合いの位置を中心として振動した。重力加速度の大きさをg[m/s^2]とし、釣り合いの位置を重力による位置エネルギーの基準にとって次の問いに答えよ。 (1)このばねのばね定数は何N/mか。 (2)最下点における重力における位置エネルギーと弾性力エネルギーによる位置エネルギーの和は何Jか。 (3)小球の力学的エネルギー保存より、ばねがつりあいの位置を通過する瞬間の小球の速さを求めよ。 この問題は先生が考えた問題だそうです。 (1)は解けたのですが(2)、(3)を解くことができません。 (3)は何回やっても答えがv=√(g/x0A)になってしまい、解答に行き着くことができません。 お手数かけますがこの問題を解いてくれませんか。よろしくお願いします。

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  • 回答No.2
  • sanori
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すみません。基準とする位置(高さ)の考え方を勘違いしていたようです。 その点だけ修正すると答えと合います。 以下、やり直し。 (2) 【前回】 -mg(|A|-|xo|) + 1/2・k|A|^2 【修正後】 -mg(|A|-0) + 1/2・k(|xo|+|A|)^2 計算すると  = -mg|A| + 1/2・mg/|xo|・(|xo|+|A|)^2  = 1/2・mg{ -2|A| + (|xo|+|A|)^2/|xo| }  = 1/2・mg{ -2|A| + (xo^2+2xo|A|+A^2)/|xo| }  = 1/2・mg{ -2|A| + |xo| + 2|A| + A^2/|xo| }  = 1/2・mg(|xo| + A^2/|xo|) 合いました。 (3) 【前回】 (2)で求めたエネルギー - 釣り合い位置での弾性力位置エネルギー - 釣り合い位置での重力位置エネルギー  = {-mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2} - 1/2・kxo^2 - 0 【修正後】 (2)で求めたエネルギー - 釣り合い位置での弾性力位置エネルギー - 釣り合い位置での重力位置エネルギー  = {1/2・mg(|xo| + A^2/|xo|) - 1/2・kxo^2 - 0 } 計算すると、  = {1/2・mg(|xo| + A^2/|xo|) - 1/2・mg/|xo|・xo^2 - 0 }  = 1/2・mgA^2/|xo| これが 1/2・mvo^2 と等しいので 1/2・mvo^2 = 1/2・mgA^2/|xo| vo^2 = gA^2/|xo| |vo| = |A|√(g/|xo|) 合いました。

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  • 回答No.1
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんにちは。 解いてみましたが、計算が合っているかどうかは確認してくださいね。 なお、絶対値記号を用いている理由は、位置(高さ)や速さの方向のプラスマイナスのややこしさを避けるためです。 (1)このばねのばね定数は何N/mか。 F = mg = k|xo| よって k = mg/|xo| (2)最下点における重力における位置エネルギーと弾性力エネルギーによる位置エネルギーの和は何Jか。 重力位置エネルギー + 弾性力位置エネルギー = -mg(|A|-|xo|) + 1/2・k|A|^2  = -mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2 (3)小球の力学的エネルギー保存より、ばねがつりあいの位置を通過する瞬間の小球の速さを求めよ。 釣り合い位置での運動エネルギー = 1/2・mvo^2  = (2)で求めたエネルギー - 釣り合い位置での弾性力位置エネルギー - 釣り合い位置での重力位置エネルギー  = {-mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2} - 1/2・kxo^2 - 0  = -mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2 - 1/2・mg/|xo|・xo^2 - 0  = -mg|A| + mg|xo| + 1/2・mg/|xo|・A^2 - 1/2・mg|xo|  = -mg|A| + 1/2・mg|xo| + 1/2・mg/|xo|・A^2 つまり 1/2・mvo^2 = -mg|A| + 1/2・mg|xo| + 1/2・mg/|xo|・A^2 なので、 vo^2 = -2g|A| + g|xo| + g/|xo|・A^2  = g(|xo| - 2|A| + A^2/|xo|) |vo| = √(g(|xo| - 2|A| + A^2/|xo|))

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質問者からの補足

回答してくださってありがとうございます! しかい、本当に言いにくいのですが、、自分が持っている解答には(2)1/2×mg(X0+A^2/X0)、(3)A√g/X0になってしまっています。 すみません。

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