複素数の問題です。

質問

この問題の解法を教えてください！！お願いします。

回答No.1

muturajcp

|α|≠1
z=|α|e^{2πjt}/α
C={z||z|=1}
f(z)=2πj/{(z-|α|)(|α|z-1)}
とすると
dz=2πjzdt

|e^{2πjt}-α|^2
={(αz/|α|)-α}[{|α|/(zα)}-{(|α|^2)/α}]
={α(z-|α|)/|α|}{|α|(1-|α|z)/(zα)}
=(z-|α|)(1-|α|z)/z

∫_{0～1}[(2πj)e^{2πjt}/{(e^{2πjt})-α}][(2πj)e^{2πjt}/{(e^{2πjt})-α}]^*dt
=∫_{0～1}[(4π^2)/|(e^{2πjt})-α|^2]dt
=∫_{|z|=1}[2πj/{(z-|α|)(|α|z-1)}]dz
=∫_{C}f(z)dz

関数f(z)の特異点は,|α|,1/|α|で1位の極となる
|α|<1のときCの内部にあるものは|α|だけだから
Res(f(z),|α|)=lim_{z→|α|}(z-|α|)f(z)=2πj/(|α|^2-1)
∫_{C}f(z)dz=(2πj)Res(f(z),|α|)=(4π^2)/(1-|α|^2)

|α|>1のときCの内部にあるものは1/|α|だけだから
Res(f(z),1/|α|)=lim_{z→1/|α|}(z-1/|α|)f(z)=2πj/(1-|α|^2)
∫_{C}f(z)dz=(2πj)Res(f(z),1/|α|)=(4π^2)/(|α|^2-1)

∴
∫_{C}f(z)dz
=
(4π^2)/|(|α|^2)-1|