複素数がわかりません

質問

いま物理数学の問題でずっと悩んでいます．
１＋root(3)i　の複素数を極座標で表すと，2e(i*pai/3)
となるのですが，どうしてpai/3が出てくるのかさっぱりわかりません．
sin（thita)=root(3)をとくのでしょうか？
どなたかわかり安い解法をご教授願えないでしょうか？

回答No.4

kbannai · ベストアンサー

#1です。

この問題はたまたま1+(√3)iだから、有名な1:2:√3の直角三角形となって、長さは２で、なす角はπ/3（ラジアン）となるのですが…。

仮に1+(√5)iにしてみると、長さは三平方の定理より√6です。なす角度θはきちんとした値にはなりません。あえて言うなら、アークタンジェント√5です。

お礼

ありがとうございます．
特別な場合だけ値がすぐ出てくるのですね.
がんばります.

回答No.3

physicsache

この問題は高校の複素数で出てきたと思いますが。。。

a+bi=γ(a/γ+ib/γ)
∵γ≡root(a^2+b^2)

cos(theta)≡a/γ
sin(theta)≡b/γ

これより、

a+bi=γ[cos(theta)+isin(theta)]

オイラーの公式を用いれば、

a+bi=γ[exp(i*theta)]

回答No.2

nobunorinobu

#1の方の回答とだぶりますが。

複素平面は、横軸を実数、縦軸を複素数としたときの平面ですね。

つまり、１＋root(3)i　を極座標で表したい場合、
横軸　１、縦軸　root(3)
の座標を極座標表現すればよいということになるわけです。

横軸　１、縦軸　root(3)　のとき、
この座標の横軸に対する原点からの角度をθとすると、
tanθ＝縦軸／横軸＝root(3)
の関係がなりたちますね。

また、振幅Ａは、
Ａ＝root（（横軸の２乗）＋（縦軸の２乗））です。

そして、複素数の極座標表示は、
Ａ×ｅ（ｉθ）
で表記できるわけです。これで答えはでますね。

回答No.1

kbannai

度数法でいうと60°だから（ラジアンでいうとπ/3）ではないですか？
複素平面で考えてみてください。１：２：√３の直角三角形が書けます。

長さは２です。

ここでオイラーの公式： e^(iθ)=cosθ+i*sinθのθをπ/3に置きかえれば、答えが見えてくると思います。

お礼

早速ありがとうございます．
１：２：√３の直角三角形を直感的に思い浮かべて60度とわかるのですね.この√３が中途半端な数字（身近な三角形）でないときはどうするのでしょう？