複素数の問題です

質問

α＝cos72°＋isin72°のとき、cos72を求めよという問題です。考えたのですがわからなかったので、是非教えてください。！

回答No.6

ryn · ベストアンサー

毎回 72°書くのは大変なので θ = 72°とします。

まず、5θ = 360°であることから
　α^5 = 1　　…(1)
となります。

α の複素共役を β として
(1)式の両辺に β をかけると
　α^4 = β　　　（ただし αβ = 1 ）
さらに両辺 β をかけて
　α^3 = β^2
が得られます。

ここで、(1)式を変形して
　α^5 - 1 = 0
⇔(α - 1)(α^4 + α^3 + α^2 + α + 1) = 0
明らかに α≠1 なので
　α^4 + α^3 + α^2 + α + 1 = 0
⇔ β + β^2 + α^2 + α + 1 = 0
⇔ (α^2 + β^2) + (α + β) + 1 = 0
⇔ 2cos(2θ) + 2cosθ + 1 = 0
⇔ 2{2(cosθ)^2 - 1} + 2cosθ + 1 = 0
⇔ 4(cosθ)^2 + 2cosθ - 1 = 0

あとは、cosθ＞0 に注意して
この2次方程式を解けば求まります。

お礼

今回rynさんの解法で説かせてもらいました。非常に参考になりました。ありがとうございます！またお願いします☆

回答No.8

noname#5537

> cos72°と具体的に与えられているのだから、具体的にルートなどを使って
> 求めよ、という意味ではないでしょうか?

そうですね。^^; (72°だし)

# わざわざ「α＝cos72°＋isin72°のとき」なんて言うからさぁ…
# 「cos72°の値を計算せよ」だけでええやん。
# ↑言い訳

お礼

ありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆

回答No.7

keyguy

回答しようと思ったら出てましたね。
でも送ります。

１／α＝ｃｏｓ（７２°）－ｉ・ｓｉｎ（７２°）
従って
α＋１／α＝２・ｃｏｓ（７２°）・・・（＊）
また
α＾５＝ｃｏｓ（７２°×５）＋ｉ・ｓｉｎ（７２°×５）＝１

すなわち
α＾５－１＝
（α－１）・（α＾４＋α＾３＋α＾２＋α＋１）＝０

α≠１であるから
α＾４＋α＾３＋α＾２＋α＋１＝０
α≠０であるからα＾２でわって
α＾２＋α＋１＋α＾（－１）＋α＾（－２）＝０
すなわち
（α＋１／α）＾２＋（α＋１／α）－１＝０
２次方程式の根の公式より
α＋１／α＝（－１±√（５））／２
（＊）より
α＋１／α＝２・ｃｏｓ（７２°）だから

２・ｃｏｓ（７２°）＝（－１±√（５））／２
左辺が正だから
２・ｃｏｓ（７２°）＝（√（５）－１）／２
従って
ｃｏｓ（７２°）＝（√（５）－１）／４

お礼

丁寧なアドバイスありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆

回答No.5

noname#24477

cos72°と具体的に与えられているのだから、具体的にルートなどを使って
求めよ、という意味ではないでしょうか?

α はとりあえず置いただけだと思いますがどうでしょう。

お礼

ありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆

回答No.4

noname#5112

#1です。
αの虚数部のプラスマイナスを入れ替えたものをβとします。
つまりβ=cos72°-isin72°
すると
α+β=2cos72°※1
また、
αβ=(cos72°＋isin72°)(cos72°-isin72°)
=cos^2(72°)+sin^2(72°)…(1)
=1…(2)※2
なので（(1)は中学数学(2)はcos^2+sin^2=1の公式）
※2よりβ=1/α
これを※1に代入して
α+1/α=2cos72°
∴cos72°=(α+1/α)/2

お礼

ありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆

回答No.3

noname#24477

1の５乗根です。
いろいろな解法があると思いますが
例えば
x＾5＝1
x＾5ー1＝0 が解ければいいでしょう。
因数分解して４次方程式を解きます。(相反方程式)

これが解けるということは正5角形が作図できることでもあります。

お礼

ありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆

回答No.2

noname#5537

conj(α) = cos72°- isin72°
ですから，
　α + conj(α) = 2 cos72°
よって，
　cos72°= (α + conj(α)) / 2
です。

※conj(α) は α の共役複素数です。

お礼

ありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆

回答No.1

noname#5112

α=exp(i×72°)
であり、
1/α=exp(-i×72°)=cos72°-isin72°
よって
α+1/α=2cos72°
∴cos72°=(α+1/α)/2

間違っていたらごめんなさい。

お礼

迅速な解答ありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆