複素数の問題がわかりません。

質問

[１－（cosθ+i sinθ）^2 ]* の偏角と絶対値を求めろという問題です。

sinθ=s
cosθ=c　と書くことにします。
i は虚数のiです。

{１－(c^2 + 2isc - s^2)}*
= {1-(cos2θ + isin２θ)}*
=1-cos2θ - i sin 2θ

ここまでの途中式にも、まったく自信がないのですが。

解き方を教えてください。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

＊は共役複素数の意味ですか θ

とりあえずはずして計算します。

１－（cosθ+i sinθ）^2=1-exp(iθ)^2=1-exp(2iθ)=1-cos(2θ)-isin(2θ)=x+iy

絶対値=R=(x^2+y^2)^(1/2)=((1-cos(2θ))+(sin(2θ))^2)^(1/2)=(2(1-cos(2θ)))^(1/2)

=(4sin^2(θ))^(1/2)=2sinθ

偏角=Θ=arctan(y/x)=arctan(-sin(2θ)/(1-cos(2θ)))=-arctan(sin(2θ)/(1-cos(2θ)))

=-arctan(2sinθcosθ/2sin^2(θ))=-arctan(cosθ/sinθ)=-arctan(cotθ)=-(π/2-θ)=θ-π/2

共役複素数の絶対値は元の複素数Rと同じ、偏角は元の複素数の偏角の符号を変えたもの、つまり-Θ=π/2-θ

です。

お礼

どうもありがとうございました！

補足

なんどもスミマセン。

((1-cos(2θ))+(sin(2θ))^2)^(1/2)=(2(1-cos(2θ)))^(1/2)　についてなのですが、

（1-cos2θ）＋（sin2θ）^2　＝　２（1-cos^2θ）　と、変化する部分について、どうしてこうなるのか教えていただけないでしょうか？