なんかいい方法ありませんか？？

質問

(1-cos20°-isin20°)^8を計算しなさい。
sinの前のiは虚数単位です。
という問題なのですが、友人から聞かれて2日間考えて、いろいろやってみたのですが上手くいかないんです(涙)
偏角と大きさに分けて考えたり、3倍角の公式を利用してcos20°を出そうとしてみたり、-1の9乗根を利用してみようとしてみたり etc...
ですが、最終的にsin10°だったり、cos20°、cos80°などが入ってしまい値が出ないんです。
友人も自分も、答えはもちろん解き方すら知りません。
なにか上手い方法があるのでしょうか？
「これなら上手くいきそうじゃん？」ていうやり方があったら教えてください。

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

少なくとも平方根では表わせないようです。
これは正９角形の作図問題と関係があり、その作図は不可能であることが証明されています。もしこの問題の答が平方根で表されるなら正９角形が作図できてしまうので、平方根では表わせないはずです。
根号を使うという広い意味でなら、複素数の３乗根を使えば、No.2様の回答のように答を表わせます。

問題の要求がはっきりわかりませんが、大学入試ということであれば３次方程式の解の公式を使うことはありませんから、cos20°等を使いながらできるだけ簡単な形で表わすというのが答なのではないでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございました。
正９角形を作図できないことが証明されているというのは初めて聞きました。
まだまだ知らないことがいっぱいありすぎるので、日々精進を重ねていこうと思います。
問題が大学入試の問題なので、きっとshkwtaさんの言う通り簡単化を求めているのでしょう。
本当にありがとうどざいました。

回答No.4

ryn

No.3 の方がおっしゃるように
１の３乗根などを用いない限り無理だと思います．

θ = 10°として
　256*(sinθ)^8*(sinθ + icosθ)
くらいまででしょうか．

お礼

ご回答ありがとうございました。
やはり高校の学習範囲だとそこくらいまでみたいですね。
どうもありがとうございました。

回答No.2

yaksa

３倍角の公式を使うと、cos20°が３次方程式の解として求まりますね。
cos60°= 1/2 = 4(cos20)^3-3(cos20)
これを解いて、（３次方程式の解き方は調べてください）
cos20°=1/4*(4+4*i*3^(1/2))^(1/3)+1/(4+4*i*3^(1/2))^(1/3) ≒0.9397
iは虚数単位ですが、この解自体は当然実数です。

お礼

ご回答ありがとうございました。
複素数の３乗根…。。
未熟者にはまだ分からないですね…f^_^;
がんばって勉強します。

回答No.1

shkwta

この問題の答はおそらく計算済みの通り、
16*((1-cos20°)^4)*(cos80°+ i sin80°）
ですが、これを√をつかって表わせ、という問題でしょうか？

補足

どうもどこかの大学の入試で今年出た問題らしく、「計算しなさい」とあるので、値を求める(sin,cosのない形にする)問題だと思います。
√で表わせますでしょうか？
自分もそこで止まってしまってまして…f^_^;
√で表わせそうなら、お願いします。