式の証明

質問

次の式を証明せよという問題解決つまづいています。問題の式だけを見ると何となくわかるのですが上手く証明の式にすることができません。

どのように書いていったら良いか解説お願いいたしますm(__)m

次の式を証明せよ。ただしf、g、hは関数であり、f≠0である。

(1)d/dx (f+g)=d/dx (f)+d/dx ( g)
(2)d/dx (f＊g)=g＊{d/dx ( f )}+f＊{d/dx ( g ) }
(3)d/dx (g/f)=1/f^2 {f＊d/dx(g)-g＊d/dx(f)}
(4)d/dx (f＊g＊h)=g＊h＊d/dx(f)+f＊h＊d/dx(g)+f＊g＊d/dx(h)

後半のほうは少しややこしく読みにくいですすみません…

よろしくお願いいたしますも

回答No.1

DJ-Potato

微分の定義は
y = f(x)
y' = lim[dx→0] {f(x+dx)-f(x)}/dx
ですね。

ちょっと(　)が多くなって見にくいので、数学的に一般的ではないですが、
f = f(x)
F = f(x+dx)
f' = d/dx f(x)
のように書いていいですか。

ちなみに
lim[dx→0] F = f(x+0) = f
です。

(1)
y = f + g
y' = lim[dx→0] {(F + G) - (f + g)}/dx
= lim[dx→0] {F-f}/dx + lim[dx→0] {G-g}/dx
= f' + g'

(2)
y = fg
y' = lim[dx→0] {FG - fg}/dx
= lim[dx→0] {FG - fG + fG - fg}/dx
= lim[dx→0] {(F-f)G + f(G-g)}dx
= f'g + fg'

(3)
y = g/f
y' = lim[dx→0] [G/F - g/f]/dx
= lim[dx→0] [{fG - Fg}/Ff]/dx
= lim[dx→0] [{fG - fg + fg - Fg}/Ff]/dx
= lim[dx→0] [{f(G-g) - (F-f)g}/Ff]/dx
= (fg' - f'g)/f^2

(4)
y = fgh
y' = {f(gh)}'
= f'(gh) + f(gh)'
= f'(gh) + f(g'h + gh')
= f'gh + fg'h + fgh'

お礼

ご返答ありがとうございます。
自分の中で少し難しく考え過ぎていたようで解説を読んで納得しました。
一つ一つ確認しながら問題が解けたので類似の問題も解けました！

ご協力感謝します♪