複素関数の積分の問題です.

質問

r > 0について、線分
C : z = ( 2r - t ) + it 　　( 0 ≦ t ≦ r )
とおくとき、

r→∞のとき、下の画像の式が成り立つことを証明をせよ.
という問題で解答をみると
「C 上でe^-(z^2)の絶対値がe^(4rt-4r^2)であることを用いよ」と書いてありました.
私はe^(4rt-4r^2)が０になるのだろうと思いましたが
t=rのときe^(4rt-4r^2)は１になり画像の式は正しくないように思うのですが.
ちなみに、eはネイピア数です.

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「t=rのときe^(4rt-4r^2)は１に」なったところで、それがどうしたというんでしょうか。問題は∫[t=0～r]e^(4rt-4r^2)dtがどうなるか、なんですよ？　簡単な積分です。計算するだけ。

z(t)=(2r-t)+it
と書くと、問題の積分J(r)は
J(r) = ∫[t=0～r]e^(-(z(t)^2))dt
である。また、
|J(r)| ≦ ∫[t=0～r]|e^(-(z(t)^2))|dt
である。
|e^(-(z(t)^2))|=e^(4rt-4r^2)
である（と信じる事にして、だ）から
r→∞のときに ∫[t=0～r]e^(4rt-4r^2)dt→0であれば、r→∞で|J(r)| →0となる、という話です。

お礼

別の問題での解法にとらわれて問題の解き方を見失ってました.

このような質問に回答していただきありがとうございます.