- ベストアンサー
複素関数の積分の問題です.
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 複素積分
Cauchyの積分定理の応用に関する問題(Fresnel積分)に関してですが、テキストなどでは、積分路を扇にとって積分していますが、これを二等辺三角形にして考えています。 まずf(z)=e^(iz^2)として、積分路Cを0,R,(1+i)Rを頂点とする直角二等辺三角形の周とします。ここで、C上の積分∫f(z)dxを考えて、Fresnel積分を導きたいのですが、一部積分評価がわからないところがあり、質問させていただきました。 積分路CをC1(0→R)、C2(R→(1+i)R)、C1((1+i)R→0)、として考え、各積分路の積分をI1,I2,I3とすると、Cauchyの積分定理より、 ∫f(z)dx=I1+I2-I3=0 となり、I1,I3については問題ないのですが、I2の積分評価がうまくできません。 C2をパラメータtを用いて、z=R+it,(0≦t≦R)とすれば、 I2=i∫[0,R] e^(i(R+it)^2) dt =i∫[0,R] e^{i(R^2-t^2)-2Rt} dt ----(*) となり、(*)式の積分評価がよくわかりません。R→∞としたとき、I2→0となるのですが、どうやって導いたらよいのでしょうか?どなたか教えていただけないでしょうか?できれば、詳しく教えていただけると大変助かります。 大変読みづらいかもしれませんが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の問題の解答解説を教えてください。
複素関数の問題の解答解説を教えてください。 f(z)は正則でf(1) = 2(1 + i), f(-it) = f(it)および∫[0→2]f(it)/((t^2)+1) dt = πi を満たすとする。 c ∶ z = 2e^(iθ) (-π/2≤ θ ≤π/2) とするとき∫c f(z)/((z^2)-1) dz を計算しろ お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 (1)Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 (2)Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、(1)については、 )Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 )Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか? また、(2)については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか?どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題
複素積分の問題 次の複素積分の問題が分かりません. アドバイスいただけたら幸いです. 次の複素関数について以下の問に答えよ f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 (1)複素平面上におけるf(z) の全ての特異点を求めよ (2)図中の閉曲線をγとする閉曲線γの矢印にそった向きの「周回積分」 ∫γ f(z)dzを求めよ γRは半径(R>1)の円し,γrは半径(r<1)の円を表す (3)z=R exp(iθ)またはr=R exp(iθ) (0<θ<2π)とおくことにより, 曲線及び曲線に沿った「周回積分」の絶対値 │∫γR f(z)dz│および、│∫γr f(z)dz│ がR→∞、r→0の極限において0に収束することを証明せよ (4)以上の結果を用い、次の「積分」 ∫(0→∞) x^-c / ( 1+x ) dx = π/ (sinπc) を証明せよ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
複素積分の問題です。 ∫z*cos(z)dz 積分路:|z-i/2|=1/2のRez≦0の部分をiから0の向き z(t)=1/2cos(t)+(1/2)*i*(sin(t)+1/2)、t∈[π/2,3π/2]で変換して z(t)=(e^it)/2+i/4として代入してみると ∫{(e^it)/2+i/4}cos{(e^it)+i/4}*{i(e^it)/2}dt 積分範囲はt:π/2→3π/2 となりました。 この積分の計算がなかなかうまくいかず行き詰ってしまって困っています。 そもそも方針は合っているのでしょうか…? どなたかわかる方おられましたら回答お願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の問題です。
方程式を解けという問題です。解答、途中式、解説詳しく教えてほしいです。 御回答よろしくお願いします。 (1) e^3z + (i - √3)e^z = 0 (2) sin(z) = 2i
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「お気に入り」リストの「印刷」をクリックしてやっていたが表示が消えてしまい復元できないで困っています。
- パソコンのOSはWindows10で、有線LANで接続しています。
- 関連するソフト・アプリはありません。
お礼
別の問題での解法にとらわれて問題の解き方を見失ってました. このような質問に回答していただきありがとうございます.