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数学の問題について教えてください！
平らな地上にAB＝3 AC＝4 ∠A＝90゜の三角形ABCがある さらにBの真上高さ5の位置に点Dがある 直線BC上に点Pをとるとき、AP+DPの最小値の求め方を良かったら解説していただけますでしょうか？
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- info22_
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#2です。 A#2のやり方はあっていると思いますが、AB,ACの長さを逆に取り違えておりましたので訂正します。 A#2の回答を以下のとおり差し替えをお願いします。 改訂版の添付図をご覧下さい 。 直角三角形△BCDを辺BCを軸に90°回転して平面ABC上に倒す。そのとき Dは D'に移る。 直角三角形△ABCの辺BCの長さは三平方の定理より BC^2=AB^2+AC^2=3^2+4^2=25 ∴BC=5 △BCD≡△BCD'より BD'=BD=5 ∠CBD'=∠CBD=90° 従って、△BCD'はBC=BD'=5,∠CBD'=90°の直角三角形。 AとD'を結んだ線分AD'と辺BCとの交点をP'とすると 三角形の辺の間の関係からAP'D'が最短経路の長さになります。 L=AP+PD=AP+PD=AP+PD'≧AP'+P'D=AD' ∠ABC=θとおくと sinθ=4/5 △ABD'で余弦定理を適用してLの最小値AD'を求めると AD'^2=AB^2+BD'^2-2AB*BD'cos(θ+90°) =3^2+5^2-2*3*5cos(θ+90°) =9+25+30sinθ =34+30*(4/5) =58 ∴AD'=√58 （答え）L=AP+PDの最小値はAD'=√58 ＃失礼しました。
- ferien
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ANo.1です。空間図形と勘違いしてました。平面で考えればいいみたいです。再回答します。 平らな地上にAB＝3 AC＝4 ∠A＝90゜の三角形ABCがある さらにBの真上高さ5の位置に点Dがある ＞直線BC上に点Pをとるとき、AP+DPの最小値 ＡＰ＋ＤＰが最小になるのは、ＡＤを直線で結んだとき、 △ＡＢＣで、余弦定理より、 cosＢ＝（５^2＋３^2－４^2／２×５×３＝３／５より、sinＢ＝４／５ △ＡＢＤを考える。ＡＢ＝３，ＤＢ＝５ 角ＡＢＤ＝Ｂ＋90゜より、cos（Ｂ＋90゜）＝－sinＢ 余弦定理より、 ＡＤ^2＝ＤＢ^2＋ＡＢ^2－２×ＤＢ×ＡＢ×cos（Ｂ＋90゜） ＝５^2＋３^2－２×５×３×（－sinＢ） ＝２５＋９－２×５×３×（－４／５） ＝５８ よって、ＡＤ＝√58より、AP+DPの最小値は、√58 です。どうでしょうか？平面の図を描いて考えてみて下さい。
お礼
回答ありがとうございます 自分でも解くことができました
- info22_
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添付図をご覧下さい。 直角三角形△BCDを辺BCを軸に90°回転して平面ABC上に倒す。そのとき Dは D'に移る。 直角三角形△ABCの辺BCの長さは三平方の定理より BC^2=AB^2+AC^2=4^2+3^2=25 ∴BC=5 △BCD≡△BCD'より BD'=BD=5 ∠CBD'=∠CBD=90° 従って、△BCD'はBC=BD'=5,∠CBD'=90°の直角三角形。 AとD'を結んだ線分AD'と辺BCとの交点をP'とすると 三角形の辺の間の関係からAP'D'が最短経路の長さになります。 L=AP+PD=AP+PD=AP+PD'≧AP'+P'D=AD' ∠ABC=θとおくと sinθ=3/5 △ABD'で余弦定理を適用してLの最小値AD'を求めると AD'^2=AB^2+BD'^2-2AB*BD'cos(θ+90°) =4^2+5^2-2*4*5cos(θ+90°) =16+25+40sinθ =41+40*(3/5) =65 ∴AD'=√65 （答え）L=AP+PDの最小値はAD'=√65
お礼
図までつけていただきありがとうございます しかし答えは√58なのです 自分でも計算してみます
- ferien
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平らな地上にAB＝3 AC＝4 ∠A＝90゜の三角形ABCがある さらにBの真上高さ5の位置に点Dがある ＞直線BC上に点Pをとるとき、AP+DPの最小値 △ＡＢＣは直角三角形だから、 ＢＣ^2＝３^2＋４^2＝２５より、ＢＣ＝５ ＡＰが最小になるのは、ＡＰがＡからＢＣまでの垂線のとき、 垂線ＡＰを引いて、ＢＰ＝ｘ，ＣＰ＝５－ｘとおく。 △ＡＢＰで、ＡＰ^2＝３^2－ｘ^2 △ＡＣＰで、ＡＰ^2＝４^2－（５－ｘ）^2 ３^2－ｘ^2＝４^2－（５－ｘ）^2より、 ９－ｘ^2＝１６－２５＋１０ｘ－ｘ^2 １０ｘ＝１８より、ｘ＝９／５ ＡＰ^2＝３^2－（９／５）＾２ ＝１４４／２５より、 ＡＰ＝１２／５ △ＤＢＰを考えると、角ＤＢＰ＝９０度の直角三角形 ＤＰ^2＝５^2＋ｘ^2 ＝５^2＋（５／９）^2 ＝２５＋（８１／２５） ＝７０６／２５より、 ＤＰ＝ルート７０６／５ よって、AP+DPの最小値は、 （１２／５）＋（ルート７０６／５） ＝（１２＋ルート７０６）／５ でどうでしょうか？図を描いて考えてみて下さい。 （答え合っているでしょうか？）
お礼
答え載せるべきでしたね 最小値は√58でした わざわざ書いていただいたのに申し訳ありません
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