素因数分解を使った約数の個数の求め方と意味

質問

• 1800を素因数分解して約数の個数を求める方法について教えてください。
• 約数の個数の求め方において、なぜ掛け算をするのか、なぜ2^2のように指数を使わないのかも教えてください。
• また、素因数分解を使って約数の個数が求まる理由についても教えていただきたいです。

回答No.1

kaztel-D4C · ベストアンサー

そもそも素因数分解するということは、その数(今の場合1800)が一体何の数から構成されているのかを知るということです。
1800=2^3×3^2×5^2なので、1800は2や3や5といった数字で割り切ることが出来ます。
他にも、2^2や3^2、2×5^2なんかでも割り切れますね。まだまだたくさんあります。
つまり、素因数分解した数字の組み合わせであれば、どんな組み合わせでも割り切ることが出来ます。
よって素因数分解で得た数字から、約数(その数を割り切れる数)を得れます。

次に、36個という総数がなぜ足し算でなく掛け算から出るのかということですが、
これは「積の法則」と言われるものです。
まず、2を0～3個選ぶということですが、仮に1個選んだとします。
それに対し、3の選び方は0～2まで三通り存在します。
以上より2を0個、2個、3個の時も同様に考えると、それぞれ三通りずつ存在するので、
2と3の選び方の総数は、2の四通りに対しそれぞれ3が三通りずつなので、4×3=12となります。
そして、最後にその十二通りのそれぞれに対し、5の選び方が0～2までの三通りありますから、
12×3=36となり、36通りが出てきます。
これを最初からまとめて書いたのが、4×3×3=36という、解答の式になります。

イメージが湧きにくいのであれば、樹形図を書いてみてはいかがでしょう。
拙い文章で申し訳ありませんが、これで説明とさせていただきます。

お礼

とてもわかりやすかったです！