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素因数分解を使った約数の個数の求め方と意味
- 1800を素因数分解して約数の個数を求める方法について教えてください。
- 約数の個数の求め方において、なぜ掛け算をするのか、なぜ2^2のように指数を使わないのかも教えてください。
- また、素因数分解を使って約数の個数が求まる理由についても教えていただきたいです。
- nonstylelove
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- 数学・算数
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そもそも素因数分解するということは、その数(今の場合1800)が一体何の数から構成されているのかを知るということです。 1800=2^3×3^2×5^2なので、1800は2や3や5といった数字で割り切ることが出来ます。 他にも、2^2や3^2、2×5^2なんかでも割り切れますね。まだまだたくさんあります。 つまり、素因数分解した数字の組み合わせであれば、どんな組み合わせでも割り切ることが出来ます。 よって素因数分解で得た数字から、約数(その数を割り切れる数)を得れます。 次に、36個という総数がなぜ足し算でなく掛け算から出るのかということですが、 これは「積の法則」と言われるものです。 まず、2を0～3個選ぶということですが、仮に1個選んだとします。 それに対し、3の選び方は0～2まで三通り存在します。 以上より2を0個、2個、3個の時も同様に考えると、それぞれ三通りずつ存在するので、 2と3の選び方の総数は、2の四通りに対しそれぞれ3が三通りずつなので、4×3=12となります。 そして、最後にその十二通りのそれぞれに対し、5の選び方が0～2までの三通りありますから、 12×3=36となり、36通りが出てきます。 これを最初からまとめて書いたのが、4×3×3=36という、解答の式になります。 イメージが湧きにくいのであれば、樹形図を書いてみてはいかがでしょう。 拙い文章で申し訳ありませんが、これで説明とさせていただきます。
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- micam
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そもそも約数は、1800を割り切れる数ですよね。 ならば素因数分解したものはどれを組み合わせても必ず割り切ることができます。そこで素因数分解を使ってこの問題を考えます。 >4*3*3=36個 と解説にはかいているのですがなぜ、個数をしらべるために掛け算をするんですか 普通、足し算ではないんでしょうか。 とのことですが、質問者様は4+3+3としたいのでしょうか? ではまず2と3のことだけ考えてみます。4通りというのは2^0、2^1、2^2、2^3を表しています。ということは4+3をしたら2と3が混ざった組み合わせは含まれていないわけです。組み合わせなら例えば2^1と3^1、つまり2と3を1つづつ選ぶことだってできますよね。 4通りと3通りの異なったものがあるときそれらの組み合わせは4×3にしますよね。 >２も０で３も０で５も０だと× ならなぜ、２＾２のときは、３＾２（悪魔で例）などとしないんでしょうか 申し訳ありませんがこの質問は何を問いているのかわかりません。すいません。
- ferien
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1800の正の約数（１を含む）は、全部で〔〕個ある 〔〕の中に数字をいれよ まず１８００を素因数分解して、２＾３×３＾２×５＾２ 2を0～3個の内何回かけるか→4通り 3を0～2個の内何回かけるか→3通り 5を0～2個の内何回かけるか→3通り ＞4*3*3=36個 かける個数を ２の個数，３の個数，５の個数を（０，０，０）とすると このとき約数は、２^0×３^0×５^0＝１であるとします。 ２を基準に考えると、２^0＝１のとき、かける個数の場合とそのときの約数は、 （０，０，０）１ （０，０，１）５ （０，０，２）５^2＝２５ （０，１，０）３ （０，１，１）３×５＝１５ （０，１，２）３×５^2＝７５ （０，２、０）３^2＝９ （０，２，１）３^2×５＝４５ （０，２，２）３^2×５^2＝２２５ の９通り、 ２^1，２^2，２^3のときも同様なので、９×４＝３６通りです。 どうでしょうか？ 考えてみて下さい。
お礼
とてもわかりやすかったです！