数A（さっきの問題と同様、先ほどのはしめきります

質問

数Aの問題
1800の正の約数（１を含む）は、全部で〔〕個ある

〔〕の中に数字をいれよ

まず１８００を素因数分解して、２＾３×３＾２×５＾２

2を0～3個の内何回かけるか→4通り
3を0～2個の内何回かけるか→3通り
5を0～2個の内何回かけるか→3通り

4*3*3=36個

と解説にはかいているのですがなぜ、個数をしらべるために掛け算をするんですか
普通、足し算ではないんでしょうか。

後、2を0～3個の内何回かけるか→4通り
3を0～2個の内何回かけるか→3通り
5を0～2個の内何回かけるか→3通り

はわかるのですが、２も０で３も０で５も０だと×
ならなぜ、２＾２のときは、３＾２（悪魔で例）などとしないんでしょうか

そもそもなぜ素因数分解して得たもので約数がわかるのでしょうか
根本的なおころがわからないんで、最初から丁寧に
おしえていただきたいです

回答No.1

kaztel-D4C · ベストアンサー

そもそも素因数分解するということは、その数(今の場合1800)が一体何の数から構成されているのかを知るということです。
1800=2^3×3^2×5^2なので、1800は2や3や5といった数字で割り切ることが出来ます。
他にも、2^2や3^2、2×5^2なんかでも割り切れますね。まだまだたくさんあります。
つまり、素因数分解した数字の組み合わせであれば、どんな組み合わせでも割り切ることが出来ます。
よって素因数分解で得た数字から、約数(その数を割り切れる数)を得れます。

次に、36個という総数がなぜ足し算でなく掛け算から出るのかということですが、
これは「積の法則」と言われるものです。
まず、2を0～3個選ぶということですが、仮に1個選んだとします。
それに対し、3の選び方は0～2まで三通り存在します。
以上より2を0個、2個、3個の時も同様に考えると、それぞれ三通りずつ存在するので、
2と3の選び方の総数は、2の四通りに対しそれぞれ3が三通りずつなので、4×3=12となります。
そして、最後にその十二通りのそれぞれに対し、5の選び方が0～2までの三通りありますから、
12×3=36となり、36通りが出てきます。
これを最初からまとめて書いたのが、4×3×3=36という、解答の式になります。

イメージが湧きにくいのであれば、樹形図を書いてみてはいかがでしょう。
拙い文章で申し訳ありませんが、これで説明とさせていただきます。

お礼

とてもわかりやすかったです！

回答No.3

micam

そもそも約数は、1800を割り切れる数ですよね。
ならば素因数分解したものはどれを組み合わせても必ず割り切ることができます。そこで素因数分解を使ってこの問題を考えます。

>4*3*3=36個

と解説にはかいているのですがなぜ、個数をしらべるために掛け算をするんですか
普通、足し算ではないんでしょうか。

とのことですが、質問者様は4+3+3としたいのでしょうか?
ではまず2と3のことだけ考えてみます。4通りというのは2^0、2^1、2^2、2^3を表しています。ということは4+3をしたら2と3が混ざった組み合わせは含まれていないわけです。組み合わせなら例えば2^1と3^1、つまり2と3を1つづつ選ぶことだってできますよね。
4通りと3通りの異なったものがあるときそれらの組み合わせは4×3にしますよね。

>２も０で３も０で５も０だと×
ならなぜ、２＾２のときは、３＾２（悪魔で例）などとしないんでしょうか

申し訳ありませんがこの質問は何を問いているのかわかりません。すいません。

回答No.2

ferien

1800の正の約数（１を含む）は、全部で〔〕個ある
〔〕の中に数字をいれよ
まず１８００を素因数分解して、２＾３×３＾２×５＾２

2を0～3個の内何回かけるか→4通り
3を0～2個の内何回かけるか→3通り
5を0～2個の内何回かけるか→3通り

＞4*3*3=36個

かける個数を
２の個数，３の個数，５の個数を（０，０，０）とすると
このとき約数は、２^0×３^0×５^0＝１であるとします。
２を基準に考えると、２^0＝１のとき、かける個数の場合とそのときの約数は、
（０，０，０）１
（０，０，１）５
（０，０，２）５^2＝２５
（０，１，０）３
（０，１，１）３×５＝１５
（０，１，２）３×５^2＝７５
（０，２、０）３^2＝９
（０，２，１）３^2×５＝４５
（０，２，２）３^2×５^2＝２２５
の９通り、
２^1，２^2，２^3のときも同様なので、９×４＝３６通りです。

どうでしょうか？　考えてみて下さい。