積分について

質問

積分の公式として
∫dx/(1-x)=ln[1/(1-x) ]　（積分範囲は0からX）
となっていますが、これはどうやって導出されるのですか？
どなたかご回答お願いします。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

∫dx/(1－x)＝ln(1/(1－x))

を導出する計算は，以下の通りです．

z＝1/(1－x)とおきます．この両辺を x で微分すると，

dz＝dx/(1－x)^2

となります．これを変形すると，

dx＝dz(1－x)^2

です．これを，∫dx/(1－x)　に代入して，整理，計算してゆくと，

∫dx/(1－x)＝∫z(dz(1－x)^2)＝∫z・dz・(1/z^2))＝
＝∫dz/z＝ln(z)＝ln(1/(1－x))

となります．したがって，

∫dx/(1－x)＝ln(1/(1－x))

です．

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.5

alice_44

x＜1 であればよく、
x＜0 でも成り立つ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.4

info22_

#2です。

A#2の問題についての質問の回答がいただけないようですね。

lnは自然対数のことですね。

∫[0,X}dx/(1-x)
0≦X＜1の場合 0≦x≦Xなので
I=-∫[0,X] dx/(x-1)=-[ln(1-x)][0,X]=-log(1-X)=ln(1/(1-X))

X>1の時被積分関数の未定義のx=1をまたいだ区間で積分することになるので
積分ができません。

従って
>積分の公式として
>∫[0,X]dx/(1-x)=ln[1/(1-X) ]
公式が成り立つのは　0≦X＜1の範囲です。

積分自体は
1-x=tとおくと　0≦x≦X＜1より 0<t≦1
I=∫[0,X]dx/(1-x)=∫[1,1-X] -dt/t=-∫[1,1-X] dt/t=-[ln(t)][1,1-X]
=ln(1)-ln(1-X)=-ln(1-X)=ln(1/(1-X))

お礼

遅くなりましたが、ご回答ありがとうございます。

回答No.2

info22_

>積分範囲は0からX
xとXとは同じですか？

同じ場合
被積分関数の1/(1-x)の定義域はx≠1以外の実数全体の範囲ですが、積分の上限のXは
X≧0ですか？
積分結果からすると、対数「ln[1/(1-x)]」の真数条件から x＜1 の範囲に定義域が
制限されてしまいます。　

以上の問題についての質問の回答していただいた後、回答させて頂きます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

1/x は積分できますか?

お礼

ご回答ありがとうございます。