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広義積分が解けません。
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その公式の導き方ですが… ガンマ関数の定義 Γ(s) = ∫[t=0→+∞] { t^(s-1) }・e^(-t) dt を t = nx で置換すれば、 Γ(s)・n^(-s) = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・e^(-nx) dx と変形できます。 この式の両辺を n=1,2,3,…,→∞ について Σ すれば、 左辺 = Γ(s)・Σ[n=1→∞] n^(-s) = Γ(s)・ζ(s), 右辺 = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・{ Σ[n=1→∞] e^(-nx) } dx = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・{ e^(-x)/(1 - e^(-x)) } dx ; 等比級数の公式 = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・{ 1/(e^x - 1) } dx ; 分子分母 e^x 倍 と整理されます。 いわゆる「リーマンの第一積分表示」です。 自然数に対するガンマ関数の値は、Γ(n) = (n-1)!, 偶数に対するゼータ関数の値は、ζ(2n) = { (-1)^(n+1) }・B[2n]・{ (2π)^(2n) }/{ 2・(2n)!} という有名な公式がありますから、 以上を使って、s = 4 の場合を整理すると、 ∫[x=0→+∞] (x^3)/(e^x - 1) dx = (3!)・{ (-1)・B[4]・(2π)^4 }/{ 2・(4!) } ; ベルヌイ数 B[4] = -1/30 = 6・(π^4)/90 となります。 偶数ゼータ値の公式は、sin の級数表現と無限積表現 sin z = Σ[n=0→∞] { (-1)^n }・{ x^(2n+1) }/{ (2n+1)!}, sin z = z・Π[n=1→∞] { 1 - (x^2)/(nπ)^2 } の各 z^n の係数を比較すれば、導けます。
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- Ae610
- ベストアンサー率25% (385/1500)
∫[0,∞]{x^3/(e^x -1)}dx = π^4/15 (π/15ではない!!) ちょっとずるいけど・・・ 以下の積分公式から計算してみる ∫[0,∞]{t^(2n-1)/(e^(2πt) -1)}dt=Bn/4n (Bnはベルヌーイ数) 2πt=xとおくと 与式=1/(2π)^(2n-1)・∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx/2π =1/(2π)^(2n)・∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=Bn/4n ∴∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=(2π)^(2n)・Bn/4n n=2を代入して ∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=(2π)^4・B2/4・2=16π^4/(30・4・2)=π^4/15 (ベルヌーイ数;B2=1/30を使用)
お礼
ご回答いただき、ありがとうございます。 一番最初に用いられている公式をどう導出できるのかが疑問です。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
リーマン・ゼータ関数の積分表示について 調べてみて下さい。
お礼
ご回答いただき、ありがとうございます。 リーマン・ゼータ関数の積分表示について調べてみると、 結構載っているものですね。 キーワードだけでも知っていると役に立ちますね。
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お礼
とてもきれいに導出してくださり、わかりやすかったです。 ありがとうございました。 ゼータ関数というのを、初めて知りました。 これを機会に勉強しようと思います。