- ベストアンサー
正四面体の解
1辺の長さが12の正四面体T-ABCがある。 (1)Tから平面ABCに下ろした垂線をTHとする。 Hは三角形ABCの外心であることからAHの長さを求めよ。 (2)正四面体の面積を求めよ。 (3)正四面体に内接する球の半径を答えよ。 誰かわかる人お願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
（１） ４√６ （２） 表面積ということだと思うので、 １４４√３ （３） √６ ーーーーーーーーーーーー （１）ＡＢの中点をＤとしたとき、 ＴＤ＝ＣＤ＝６√３ Ｈは外心なので、 ＤＨ＝２√３ 三角形ＴＤＨで三平方使って、ＴＨ＝４√６ （２） ←（３）につなげるための問題。 正四面体の表面積は正三角形の４倍 １２ Ｘ ６√３ Ｘ （1/2） Ｘ ４ ＝ １４４√３ （３）正四面体の内接球からそれぞれの面に降ろしてきた垂線は 等しい。これをrとする。 正四面体の体積を２通りで表す。 三角形ＡＢＣとＴＨを使った方法→３６√３ Ｘ ４√６ Ｘ （1/3） 正四面体の表面積にrをかけて求める方法→１４４√３ Ｘ r Ｘ （1/3） この二つが等しいとして、rを求めると、 ３６√３ Ｘ ４√６ Ｘ （1/3） ＝ １４４√３ Ｘ r Ｘ （1/3） r = √６
その他の回答 (1)
- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
1辺の長さが12の正四面体T-ABCがある。 (1)Tから平面ABCに下ろした垂線をTHとする。 ＞Hは三角形ABCの外心であることからAHの長さを求めよ。 正弦定理より、 １２／sin（60度）＝２Ｒ Ｒ＝（１２／ルート３／２）×（１／２）＝４ルート３ よって、ＡＨ＝Ｒ＝４ルート３ ＞(2)正四面体の面積を求めよ。 表面積だったら、正三角形４面だから、 ４×（１／２）×１２×１２×sin（60度）＝１４４ルート３ ＞(3)正四面体に内接する球の半径を答えよ。 △ＴＨＡを考えると、角ＴＨＡ＝９０度の直角三角形 （１）より、ＡＨ＝４ルート３ ＴＨは正四面体の高さ ＴＨ^2＝ＴＡ^2－ＡＨ^2 ＝１２^2－（４ルート３）^2＝９６より、ＴＨ＝４ルート６ 正四面体に内接する球の半径をｒ、外接する球の半径をＲとする。 内接球の中心をＩとすると， 高さＴＨ＝Ｒ＋ｒ，ＩＡ＝Ｒ △ＩＨＡは直角三角形だから、R^2＝ｒ^2＋（４ルート３）^2 ４ルート６＝Ｒ＋ｒより、Ｒ＝４ルート６－ｒを代入して整理すると、 ８ルート６ｒ＝４８ よって、ｒ＝ルート６ 内接する球の半径は、ルート６ 図を描いて確認してみて下さい。 何かあったらお願いします。
お礼
回答ご親切にありがとうございます！
お礼
ありがとうございます！ 凄い助かりました！