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正四面体の解
1辺の長さが12の正四面体T-ABCがある。 (1)Tから平面ABCに下ろした垂線をTHとする。 Hは三角形ABCの外心であることからAHの長さを求めよ。 (2)正四面体の面積を求めよ。 (3)正四面体に内接する球の半径を答えよ。 誰かわかる人お願いします。
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1辺の長さが12の正四面体T-ABCがある。 (1)Tから平面ABCに下ろした垂線をTHとする。 ＞Hは三角形ABCの外心であることからAHの長さを求めよ。 正弦定理より、 １２／sin（60度）＝２Ｒ Ｒ＝（１２／ルート３／２）×（１／２）＝４ルート３ よって、ＡＨ＝Ｒ＝４ルート３ ＞(2)正四面体の面積を求めよ。 表面積だったら、正三角形４面だから、 ４×（１／２）×１２×１２×sin（60度）＝１４４ルート３ ＞(3)正四面体に内接する球の半径を答えよ。 △ＴＨＡを考えると、角ＴＨＡ＝９０度の直角三角形 （１）より、ＡＨ＝４ルート３ ＴＨは正四面体の高さ ＴＨ^2＝ＴＡ^2－ＡＨ^2 ＝１２^2－（４ルート３）^2＝９６より、ＴＨ＝４ルート６ 正四面体に内接する球の半径をｒ、外接する球の半径をＲとする。 内接球の中心をＩとすると， 高さＴＨ＝Ｒ＋ｒ，ＩＡ＝Ｒ △ＩＨＡは直角三角形だから、R^2＝ｒ^2＋（４ルート３）^2 ４ルート６＝Ｒ＋ｒより、Ｒ＝４ルート６－ｒを代入して整理すると、 ８ルート６ｒ＝４８ よって、ｒ＝ルート６ 内接する球の半径は、ルート６ 図を描いて確認してみて下さい。 何かあったらお願いします。
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