幾何の証明問題です。回答の程宜しくお願い致します。

質問

次の証明問題についてなんですが．．．
△ABCを底面とする三直角四面体について，△ABCの重心をGとするとき，直線OGは四面体OABCの外心を通ることを証明せよ
できるだけわかりやすく証明方法を教えてくださいm(_ _)m

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

xyz座標で考えれば、
O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)とすると、
△ABCの重心は、(a/3,b/3,c/3)
四面体の外心は、(a/2,b/2,c/2)
より明らかです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

xyz座標で考えれば一発ですね。外心と重心の共通平面とか考えてました．．．

本当に助かりましたありがとうございます。

回答No.2

151A48

Oはもう１つの頂点で，∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝９０°，四面体の外心とは四面体の外接円の中心，ということでよいのでしょうか？
ベクトルを使って計算でやってはだめですか？
ベクトルの上の→は略

ＯＧ＝（１/３）（ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ）ですからＯＧ上に点Ｐをとり
ＯＰ＝（１/３）ｋ（ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ）　とおく。
ＯＰ＝ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ　（ここはベクトルの大きさ）となるようなｋが定まれば，その点Ｐが外心で，ＯＧ上にあることが言えたことになります。
条件より内積ＯＡ・ＯＢ＝ＯＢ・ＯＣ＝ＯＣ・ＯＡ＝０ですから
|OP|^2=((k^2)/9)(|OA|^2 + |OB|^2 + |OC|^2 )　・・・（１）
PA=OA-OP=(1- (1/3)k)OA-(1/3)kOB-(1/3)kOCなので
|PA|^2=(1-(1/3)k)^2|OA|^2 +( (k^2)/9)|OB|^2 +( (k^2)/9)|OC|^2　・・・（２）
（１），（２）より　（１－(1/3)k)^2=k^2/9 を解いてk=3/2
これはＰＢ，ＰＣで調べても同じ。
よってＯＰ＝(1/2)(OA+OB+OC) は外心でＯＧ上にある。（四面体の外に出るんですね）

お礼

ご回答ありがとうございます。

>Oはもう１つの頂点で，∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝９０°，四面体の外心とは四面体の外接円の中心，ということでよいのでしょうか？

すみません説明不足でしたね。その通りです。

>ベクトルを使って計算でやってはだめですか？

中2なんでまだベクトル習ってないんです。なんかすみません。