幾何の証明問題です。回答の程宜しくお願い致します。

質問

次の証明問題についてなんですが．．．
直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通ることを証明せよ。
できるだけわかりやすく証明方法を教えてくださいm(_ _)m

ちなみに直辺四面体の定義は
四面体ABCDにおいて，AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つこと
です。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

ANo.2，No.3です。「直辺四面体の対辺の共通垂線」の意味が分かりました。再回答します。

仮定が、直辺四面体であること、四面体ABCDにおいて，AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つこと。
結論が、直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通ること。
とします。

Ａから△ＢＣＤにおろした垂線の足をＨとします。
ＡＢの中点をM1，ＣＤの中点をＮ1とします。ＡＢ⊥ＣＤ（仮定）だから、△ＡＢＮ1⊥ＣＤより、
Ｍ1Ｎ1⊥ＣＤ（Ｍ1はＡＢ上の点）……（１）
△ＡＢＮ1は二等辺三角形だから、Ｍ1Ｎ1⊥ＡＢと（１）より、Ｍ1Ｎ1はＡＢとＣＤの共通垂線。

ＡＣの中点をＭ2，ＢＤの中点をＮ2とする。ＡＣ⊥ＢＤ（仮定）より同様にして、
Ｍ2Ｎ2⊥ＢＤ……（２）Ｍ2Ｎ2⊥ＡＣから、Ｍ2Ｎ2はＡＣとＢＤの共通垂線。

ＡＤの中点をＭ3，ＢＣの中点をＮ3とする。ＡＤ⊥ＢＣ（仮定）より同様にして、
Ｍ3Ｎ3⊥ＢＣ……（３）Ｍ3Ｎ3⊥ＡＤから、Ｍ3Ｎ3はＡＤとＢＣの共通垂線。

ＡＨ⊥△ＢＣＤより、ＡＨ⊥ＣＤ，ＡＨ⊥ＢＤ，ＡＨ⊥ＢＣ　……（４）
（１）と（４）よりＡＨ⊥ＣＤだから、Ｍ1Ｎ1とＡＨを含む平面はＣＤに垂直。
よって、Ｍ1Ｎ1とＡＨは、同一平面上にあり（平行でないから）１点で交わる。
（２）と（４）よりＡＨ⊥ＢＤだから、Ｍ2Ｎ2とＡＨを含む平面はＢＤに垂直。
よって、Ｍ2Ｎ2とＡＨは、同一平面上にあり（平行でないから）１点で交わる。
（３）と（４）よりＡＨ⊥ＢＣだから、Ｍ3Ｎ3とＡＨを含む平面はＢＣに垂直。
よって、Ｍ3Ｎ3とＡＨは、同一平面上にあり（平行でないから）１点で交わる。
以上より、対辺の共通垂線と垂線ＡＨは１点で交わる。

他のＢ，Ｃ，Ｄから対面への垂線についても同様に１点で交わることが示せる。
また、対面への４本の垂線は１点（垂心）で交わるから、
共通垂線は垂心で交わる。よって、共通垂線は垂心を通る。

証明が長くなりましたが、どうでしょうか？
何かあったらお願いします。

お礼

長らく私の疑問に付き合っていただきありがとうございます。
おかげで理解することができました。

また宜しくお願いします。
どうもありがとうございました。

回答No.3

ferien

ANo.2です。お礼ありがとうございます。

＞直辺四面体であること（つまりAB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つ）および四面体に頂点から
＞対面へ下した4本の垂線が１点で交わることは仮定なわけです。
＞何度も言いますが証明したのは
＞「直辺四面体の対辺の共通垂線が垂心を通ること」

「直辺四面体の対辺の共通垂線」とは、図形的にはどういうものですか？
ここで言う「垂心」とは何なのか図として説明して欲しいです。
（図があればいいですが、問題のＡＢＣＤなど使って説明して下さい。）
「直辺四面体であること（つまりAB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つ）」と「四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が１点で交わること」は同値なので、どちらか一方を仮定にするのが普通だと思いますが、どうなんでしょうか？

補足

すみません説明不足でした。

四面体における垂心とは、各頂点からその対面に下した4本の垂線の交点です（したがって垂心を持つ四面体というものには必要十分条件があってそれが直辺四面体であるということなんです）。

直辺四面体の対辺の共通垂線は文字通り一方の辺に垂直でかつその対辺に対しても垂直な直線というものです。

また問題文における仮定は直辺四面体であることのみです（ややこしいことを書いて申し訳ありません）。

回答No.2

ferien

＞（四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が１点で交わることの必要十分条件は
＞直辺四面体であることです）

仮定が、直辺四面体であること、四面体ABCDにおいて，AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つこと。
結論が、四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が１点で交わること。
とします。

Ａから△ＢＣＤにおろした垂線の足をＨ1，Ｂから△ＡＣＤにおろした垂線の足をＨ2とします。
ＡＨ1⊥△ＢＣＤより、ＡＨ1⊥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＤ（仮定）だから，
ＣＤはＡＢとＡＨ1を含む平面に垂直。
ＢＨ2⊥△ＡＣＤより、ＢＨ2⊥ＣＤ，同様に，ＣＤはＡＢとＢＨ2を含む平面に垂直。
ＣＤに垂直な平面２つはどちらもＡＢを含むから、同じ平面である。
よって、ＡＨ1，ＢＨ2は、同一平面上にあり（平行でないから）１点で交わる。
Ｃから△ＡＢＤにおろした垂線の足をＨ3とすると、ＡＨ1⊥ＢＤ，ＣＨ3⊥ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤより、
同様にして、ＡＨ1，ＣＨ3は１点で交わる。
Ｄから△ＡＢＣにおろした垂線の足をＨ4とすると、ＡＨ1⊥ＢＣ，ＤＨ4⊥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＤから
同様にして、ＡＨ1，ＤＨ4は１点で交わる。
以上より、頂点から対面へ下した４本の垂線は１点で交わる。（その点が垂心。）

でどうでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

何か私の説明不足のようですが
直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通ることを証明せよ。
これの証明をしたいわけです。
つまり直辺四面体であること（つまりAB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つ）および四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が１点で交わることは仮定なわけです。
何度も言いますが証明したのは
「直辺四面体の対辺の共通垂線が垂心を通ること」
です。

回答No.1

Ae610

四面体が直辺四面体（四面体ABCDにおいて，AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つ）であることから、
Aから平面BCDに下ろした垂線の足をH1とすればH1は△BCDの垂心である。
BH1とCDとの交点をEとすると、平面ABE上でBからAEに垂線BH2を引くと、
(BH2⊥AE)∧(AEH1⊥CD)であるのでBH2⊥CD
∴BH2⊥平面ACDでありAH1とBH2とは一点Hで交わる。
同様の事がCからABD , DからABCに下ろした垂線CH3およびDH4を引けば、これらは各々2つずつ交わる事になる。
従って同一点Hで会合することになる。
逆に、同一点Hで会合すれば、上の事からAB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが示される。
よって直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通る。

補足

ご回答ありがとうございます。

質問ですが、「同一点Hで会合→題意が成り立つ」ということでしょうか。
だとしたら、少し飛躍しているなと思ってしまいます。
（四面体に頂点から対面へ下した4本の垂線が１点で交わることの必要十分条件は直辺四面体であることです）

私の思い違いかもしれません。