数Aの証明問題です

質問

点Pから△ABCの各辺BC、CA、ABにおろした垂線をPD、PE、PFとする。
点Pが△ABCの外心、内心、重心、垂心、傍心のとき点Pはそれぞれ△DEFのどんな点か証明せよ。

この問題がわかりません(T_T)どなたかわかる方ご教授お願いします!!

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

取り敢えず分かっただけ回答します。
△ABCの内接円は△DEFの外接円なので、、
△ABCの内心＝△DEFの外心。
△ABCの垂心Pと△DEFの各頂点を結ぶ線分は、
それぞれ頂角を二等分するので、
△ABCの垂心＝△DEFの内心。
△ABCの傍心を中心とする傍接円は△DEFの
外接円になるので、
△ABCの傍心＝△DEFの外心。

お礼

回答ありがとうございます。
重心の場合あてはまるものがないのですね。
参考にさせて頂きます!!

回答No.6

yyssaa

#1です。
前回回答の証明です。
(1)△ABCの内心＝△DEFの外心について
点Pが△ABCの内心であれば、点Pは△ABCの各辺から等距離、
すなわちPD=PE=PFであり、点Pは△DEFの各頂点から等距離
に位置するので、点Pは△DEFの外心となる。
(2)△ABCの垂心＝△DEFの内心について
点Pが△ABCの垂心であれば、∠PFB=∠PDB=90°、すなわち
点Fと点Dは線分BPを直径とする同一円上の点であるので、
円周角の定理により、∠PDF=∠PBF。
同様に、∠CFB=∠CEB=90°、すなわち点Fと点Eは辺BCを直径
とする同一円上の点であるので、円周角の定理により、
∠EBF=∠ECF。
同様に、∠PEC=∠PDC=90°、すなわち点Eと点Dは線分PCを直径
とする同一円上の点であるので、円周角の定理により、
∠PCE=∠PDE。
以上より、∠PDF=∠PBF=∠EBF=∠ECF=∠PCE=∠PDE、すなわち
∠PDF=∠PDEとなり、線分PDは∠EDFを二等分していることが
分かる。同様の方法で線分PEが∠DEFを二等分し、線分PFが
∠EFDを二等分することが証明できるので、点Pは△DEFの各内角
の二等分線が交わった点に位置するので、点Pは内心の定義に
より△DEFの内心となる。
(3)△ABCの傍心＝△DEFの外心について
傍心は三角形の外部に3点あるので、ここでは点Pを、∠A(内角)
の二等分線上の傍心とする。
∠PAF=∠PAE、∠PFA=∠PEA=90°より△APF=△APE、すなわち
PF=PE。傍心の定義より線分CPは∠Cの外角の二等分線なので、
∠PCD=∠PCE、そして∠PDC=∠PEC=90°より△PCD=△PCE、
すなわちPD=PEとなり、傍心Pから辺BCに下ろした垂線PDとPから
辺AC及び辺ABのそれぞれの延長線に下ろした垂線PE及びPFは
全て長さが等しことが分かる。よって点D、E、Fは傍心Pを中心
とする半径PD=PE=PFの同一円(傍接円)上にあり、この円が△DEF
の外接円になるので、点Pは△DEFの外心となる。

お礼

理解できました!
わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.5

151A48

補充，参考まで。
Pが∆ABCの外心のとき，EF∥BC，PD⊥BCなのでPD⊥EF
同様にPE⊥FD，PF⊥DE。よってPは∆DEFの垂心。

回答No.4

ferien

ANo.3です。少し追加です。

＞よって、点Ｐは△ＤＥＦの各辺の垂直二等分線、ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ上にあるから、

点Ｐは△ＡＢＣの外心で、ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの垂直二等分線でも
あるから、Ｐはこれら３つの直線上にあります。

回答No.3

ferien

＞点Pから△ABCの各辺BC、CA、ABにおろした垂線をPD、PE、PFとする。
＞点Pが△ABCの外心、内心、重心、垂心、傍心のとき点Pはそれぞれ△DEFのどんな点か証明せよ。
傍心を除く４つの点が一致する三角形は正三角形だから、△ＡＢＣは正三角形
だから、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ，角Ａ＝角Ｂ＝角Ｃ＝６０度，
Ｄ，Ｅ，ＦはＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点だから、ＡＦ＝ＦＢ＝ＢＤ＝ＤＣ＝ＥＣ＝ＥＡ、
上のことより、
△ＡＦＥで、ＡＥ＝ＡＦより、二等辺三角形で，角Ａ＝６０度より、正三角形だから、
ＡＦ＝ＡＥ＝ＦＥ
△ＢＤＦで、同様にして、ＢＤ＝ＢＦ＝ＤＦ
△ＣＥＤで、同様にして　ＣＥ＝ＣＤ＝ＥＤ
よって、ＦＥ＝ＤＦ＝ＥＤより、△ＤＥＦは正三角形　……（１）
四角形ＡＦＤＥは、上のことから４つの辺が等しいからひし形
だから、対角線ＡＤとＦＥは直交し、ＡＤはＦＥを二等分する。
よって、ＡＤはＦＥの垂直二等分線、
四角形ＢＤＥＦもひし形だから、同様にして、
ＢＥはＦＤの垂直二等分線。
四角形ＣＥＦＤもひし形だから、同様にして、
ＣＦはＥＤの垂直二等分線。
よって、点Ｐは△ＤＥＦの各辺の垂直二等分線、ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ上にあるから、
△ＤＥＦの外心である。……（２）
（１）（２）より、
点Ｐは正三角形ＤＥＦの外心であるから、同時に内心，重心，垂心である。
（傍心だけは、正三角形であると言うだけでは示せないと思います。）
正三角形を描いて考えてみて下さい。

お礼

なるほどありがとうございます。
長文ありがとうございました。やっと理解できました!

回答No.2

yyssaa

#1です。
重心の場合あてはまるものがないのですね。

＞特殊な場合として、△ABCが正三角形の場合は、
△ABCの重心＝△DEFの重心
になります。