本気で分からない外心と垂心

質問

[1]

外心と垂心が一致する三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。

自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか（全部間違えてそうだけど・・）
どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。
以下、私の答えです。

△ABCの外心をOとすると
点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON
OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより
OL⊥MN
OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BCより
OM⊥LN
ON⊥ACで点N,Mは辺AB,BCの中点なのでON//ACより
ON⊥LM
以上より点Oは△ABCの垂心でもある。
よって△ABCは正三角形である。

教科書の答えが全然違ったんですが、どうしてこれではだめなんでしょうか？

[2]

鋭角三角形ABCの垂心をH、外心をOとし、Oから辺BCにおろした垂線をOMとする。
また、△ABCの外接円の周上に点Kをとり、線分CKが円の直径になるようにする。
このとき、次のことを証明せよ。

(1)BK=2OM

(2)四角形AKBHは平行四辺形である。

(3)AH=2OM

どれも難しくて分かりません。。
易しく教えてください。
おねがいします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

[1]は、点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
といったとき、△ＡＢＣが正三角形のときしかこのような線は引け
ませんよね。
正三角形を仮定して垂心と外心が一致するというのではなくて
垂心と外心が一致すると仮定してそれが正三角形になるといいたい
わけですよね。

[2]
(1)△ＣＯＭ∽△ＣＫＢ（２組の角）なので、
　　ＣＯ：ＣＫ＝ＯＭ：ＫＢ＝１：２です。
(2)直線ＡＨはＢＣに垂直、ＫＢもＢＣに垂直なのでＫＢ//ＡＨ
　（同位角が等しい）
　直線ＢＨはＡＣに垂直、∠ＫＡＣは直径の弧に対する円周角
　なので90°だから、ＢＨ//ＫＡ（同位角が等しい）
　よって、２組の対辺がそれぞれ平行といえます。
(3)(2)から、ＫＢ＝ＡＨだし、(1)からＫＢ＝２ＯＭなので、
　ＡＨ＝２ＯＭです。

回答No.2

tarame

「垂心と外心が一致する三角形は正三角形である」ことの証明の方針

△ＡＢＣにおいて、Ａ(-a,0)，Ｂ(b,0)，Ｃ(0,c) とおく。
（ただし、a＞0,b＞0,c＞0 とする。）
「Ｃを通りＡＢに垂直な直線」と「Ａを通りＢＣに垂直な直線」の交点が垂心Ｐとなる。
外心と一致するので、ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ が成り立つ。
これにより、b,c を a で表すと
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡを示すことができる。