数学の問題の手がかりがつかめない・2回目

質問

数学の問題の手がかりがつかめない・2回目
こういった質問が載っているのを見たことがないので、御法度なのかな・・・といささか心配ですが、困っているのは確かなので助言お願いします。ところで、この質問は前にも掲載したのですが、ベストアンサーだと早とちりして締め切ってしまった回答者様の回答にミスがあったことが後に発覚しまして、仕方なくもう一度掲載しました。
中学二年生なのですが、幾何の問題でいくら頭をひねっても分からない(馬鹿です許して下さい)問題があったので、教えていただけないでしょうか。もちろん解法丸ごとなどというただのさぼりのようなことはしません(自力で解いている人もいるのに聞かないとできない時点で・・・)。手がかりや解き方のヒントや大筋だけでよいので、助言お願いします。以下の６問です。また、円に関係する定理、定義(接線に関わる定理や円周角の定理)は未習で、チェバメネラ、2次方などは履修済みです。その範囲で解ける問題らしいのですが・・・。

AB=13かつBC=14かつCA=15である△ABCがある。
1.△ABCの垂心をHとすると、AHの長さはいくらか。
2.△ABCの内心をIとする。Iから辺AB、BC、CAに下ろした垂線の足をそれぞれP、Q、Rとすると、AQ、BR、CPは1点で交わることを示せ。
3.△ABCの傍心のうち、直線ABに関して点Cと同じ側にない物をEとする。Eから直線AB、BC、CAに下ろした垂線の足をそれぞれS、T、Uとすると、AT、BU、CSは1点で交わることを示せ。
4.△ABCの外心をOとする。Oから辺BCに下ろした垂線の足をVとするとき、OVの長さを求めよ。
5.AOの長さを求めよ。
6.直線AOとBCの交点をDとするとき、ADの長さを求めよ。

どうぞ助言よろしくお願いします。

回答No.3

nag0720

＃１です。

sin,cosがまだとなると、

AからBCに下ろした垂線の足をD、
BからACに下ろした垂線の足をEとする。

三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って、

AB^2-AE^2=BE^2=BC^2-(AC-AE)^2
から、AEが分かります。
AB^2-AD^2=BD^2=AC^2-(BC-BD)^2
から、BDが分かり、ADも分かります。

△ADC∽△AEH
より、
AH：AE＝AC：AD

AH=AE*AC/AD
でAEが求められます。

お礼

回答ありがとうございます。
ただ、△ABCの面積は84であることを考えると、AEの長さは84＊2/15＝168/15となり、あまり問題は親切ではないようです。
また、△ADCについて三平方の定理を用いると、
AC^2－(BC－BD)^2＝AD^2とならないでしょうか。
>AB^2-AD^2=BD^2=AC^2-(BC-BD)^2
これは成立しない気がします・・・。
それでも式を少しいじれば1番はクリアできそうです。どうもありがとうございました。

補足

訂正↓
AE→BE

回答No.2

nag0720

＃１、ちょっとしたミス

垂心の足
↓
垂線の足

ちなみに、
AH=33/4

お礼

答えはそうなるのですね。検算に用いらせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

１問目だけ

点BからACに下ろした垂心の足をEとすると、
AB*cos(∠A)=AE=AH*cos(∠EAH)=AH*sin(∠C)
より、
AH=AB*cos(∠A)/sin(∠C)

cosは余弦定理を使えば出るし、cosが分かればsinも分かりますね。

２問目以降は前の回答で分かるのでは。

お礼

すみません中2なのでサインコサイン余弦定理は分からないんです・・・。
でも回答下さってありがとうございます。