数学Bベクトル

質問

この問題はどうすればよいのでしょうか。
問題
三角形ABCの外心をOとする。3辺の長さをAB=c，BC=a，CA=bとすると，
ABベクトルとBCベクトルを用いてAOベクトルを表せ。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

ABベクトルとBCベクトルを用いてAOベクトルを表すのはバランスが悪いので、
まずはABベクトルとACベクトルを用いてAOベクトルを表すことにします。

辺ABの中点をDとすると、
ABとDOは直交するので、
AB・DO=0　（ベクトルの記号は省略します）

DO=AO-AD=AO-AB/2
なので、
AB・(AO-AB/2)=0
すなわち、
AB・AO=|AB|^2/2=c^2/2
辺ACについても同様なので、
AC・AO=|AC|^2/2=b^2/2

AO=sAB+tAC
とすると、
AB・AO=sAB・AB+tAB・AC
AC・AO=sAC・AB+tAC・AC
なので、
sc^2+t(AB・AC)=c^2/2
s(AB・AC)+tb^2=b^2/2
これはs,tの一次連立方程式なので、これを解くと、
s=b^2{(AB・AC)-c^2}/{2((AB・AC)^2-b^2c^2)}
t=c^2{(AB・AC)-b^2}/{2((AB・AC)^2-b^2c^2)}

一方、余弦定理から、
a^2=b^2+c^2-2bccos(∠BAC)=b^2+c^2-2(AB・AC)
より、
AB・AC=(b^2+c^2-a^2)/2
これをs,tの式に代入して整理すると、
s=b^2(b^2-c^2-a^2)/{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a)}
t=c^2(c^2-a^2-b^2)/{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a)}

最初の問題に戻って、ABベクトルとBCベクトルを用いてAOベクトルを表すと、
AO=sAB+tAC=sAB+t(AB+BC)=(s+t)AB+tBC

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

rnakamra

外心の満たすべき条件を考える必要があります。

思いつく点としては
1.AO=BO=CO
2.ABの垂直2等分線とBCの垂直2等分線の交点(もちろんCAの垂直2等分線との交点でもある)
が挙げられます。多分1.の条件の方が使いやすいでしょう。

AO→=αAB→+βBC→
とおき、AO,BO,COがどのように表されるか考えてみる。そのためにはBO→,CO→の式が必要になる。
BO→=AO→-AB→=(-α-1)AB→-βBC→
CO→=BO→-BC→=(-α-1)AB→-(β+1)BC→

1.の条件からAO^2=BO^2=CO^2。この式にAO→,BO→CO→の式を入れると
AO^2=AO→・AO→=α^2*AB^2+β^2*BC^2+2αβAB→・BC→
BO^2=BO→・BO→=(α+1)^2*AB^2+β^2*BC^2+2(α+1)βAB→・BC→
CO^2=CO→・CO→=(α+1)^2*AB^2+(β+1)^2*BC^2+2(α+1)(β+1)AB→・BC→

AB^2=c^2,BC^2=a^2であり、AB→・BC→が必要になる。
これはCA→=BA→-BC→=-AB→-BC→から
b^2=CA→・CA→=(-AB→-BC→)・(-AB→-BC→)=AB^2+BC^2*2AB→・BC→
の関係式からa,b,cの式として表すことが出来ます。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#139735

まず始点をそろえる。
AO↑=αAB↑+βAC↑　…(1)
こうすると α+β＝1 …(2)の条件が使える。係数の和＝1

次に余弦定理をベクトル形式に書き換える。
AB↑・AC↑＝{|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2}/2

(1)の両辺と、AB↑との内積をとる。
AO↑・AB↑＝(|AB|^2)/2

これらからαとβをもとめる。
最後、AB↑とBC↑で表す。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Willyt

ＡＯ＝（ＡＢ＋ＡＣ）／２

ですね。　ＡＯはＡＢとＡＣが作る屁高四辺形の対角線の半分でしょう？

お礼

ん？
回答ありがとうございました。