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数学の証明問題
外心・垂心は鈍角三角形では三角形の内部、鋭角三角形では三角形の外部、直角三角形では三角形の周上にあることを証明せよ。 この問題を解ける、兵いらっしゃいますか？？
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鈍角三角形では三角形の「外部」、鋭角三角形では三角形の「内部」 と考えて。 外心 △ＡＢＣ の外心をＯとする。 １．∠Ａが鈍角の鈍角三角形 円周角の定理より、∠Ａ＞90°なので、中心角∠ＢＯ Ｃ ＞180° よって、点Ａを含む方の弧ＢＣの長さ＜点Ａを含まない方の弧ＢＣ となるので、点Ｏは△ＡＢＣ の外部にある。 ２．∠Ａ＝90°の直角三角形 円周角の定理より、∠ＢＯ Ｃ ＝180°。つまり、点Ｏは辺ＢＣ 上 にある。 ３．鋭角三角形 円周角の定理より、∠Ａ＜90°なので、中心角∠ＢＯ Ｃ ＜180° よって、点Ａを含む方の弧ＢＣ の長さ＞点Ａを含まない方の弧ＢＣ となるので、点Ｏは△ＡＢＣ の内部にある。 垂心 １．∠Ａが鈍角の鈍角三角形 点Ｂから直線ＡＣ に垂線ＢＰを引いたとき、Ｐが線分ＡＣ 上に あるとすれば、∠ＢＰＣ ＝∠ＢＡＰ＋∠ＡＢＰ＞∠ＢＡＰ、 つまり、∠ＢＰＣ ＞90°となるので、垂線ＢＰであることに矛盾 よって、垂線ＢＰは△ＡＢＣ の外部にあり、同様に、Ｃ から直線 ＡＢに引いた垂線も△ＡＢＣ の外部にあり、これらの交点である 垂心は△ＡＢＣ の外部にある。 ２．∠Ａ＝90°の直角三角形 点Ａが垂心であるのは明らか。よって、垂心は△ＡＢＣ の周上に ある。 ３．鋭角三角形 点Ａから直線ＢＣ に垂線ＡＰを引く。 点Ｐが線分ＢＣ の外にあるとすれば、 ∠ＡＰＢ＜∠ＡＢＣ ＜90°、または、∠ＡＰＣ ＜∠ＡＣ Ｂ＜90° となるので、垂線ＡＰに矛盾する。よって、点Ｐは線分ＢＣ上に あり、垂線ＡＰは△ＡＢＣ の内部にある。 同様に、Ｂから直線ＡＣ に垂線ＢＱを引けば、点Ｑは線分ＡＣ 上 にあり、垂線ＢＱは△ＡＢＣ の内部にある。 ＢＡは線分ＡＰとＡで交わり、ＢＣ は線分ＡＰとＰで交わるので 線分ＡＣ 上にある点ＱとＢを結んだＢＱは線分ＡＰと１点で交わる。 この交点(線分ＡＰ上の点)が垂心なので、垂心は△ＡＢＣ の内部 にある。 という説明ではどうでしょうか。
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