外心、垂心、重心が直線上にあることの証明。

質問

タイトルの通り三角形の外心、垂心、重心が直線上にあることを証明せよというのがテストのサービス問題（解けなくても減点にはならないが解けたら加点するというもの）で出たんですが、これがさっぱり分かりません。

先生ともなかなか都合が合わないのでここで質問させてください。

使う定理の名前とかを含めて分かりやすく証明していただけるとありがたいです。
また、一般的な（前の回答者さんの）証明はこうだが、自分はこういう証明も見つけた、というのがあればそちらも是非お願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

いろんな証明方法があると思いますが、

三角形ＡＢＣの外心をＯ、垂心をＨ、重心をＧとおくと、

ＯＧ→＝(ＯＡ→＋ＯＢ→＋ＯＣ→)／３
ＯＨ→＝ＯＡ→＋ＯＢ→＋ＯＣ→＝３ＯＧ→

となることが証明できます。

これは、Ｏ，Ｇ，Ｈが(この順に)一直線上にあることを示していますね。

ちなみに、外心、垂心、重心を通る直線のことを「オイラー線」と呼びます。

お礼

わかりました。
どうもありがとうございます。