振り子の等時性の公式

質問

振り子の等時性を表す式 T=2π√l/√g って、どうやって求められるのでしょうか？

解答よろしくお願いします。

回答No.2

JOUNIN

振り子は非等速円運動をします
振り子の質量をm、運動半径をl、速度をv、糸の張力をT、中心線から反時計回り方向の偏角をθ、重力加速度をgとして接線方向と向心方向に分けて運動方程式を記述すれば

接線方向:mdv/dt=-mgsinθ…(1)
向心方向:mv^2/l=T-mgcosθ…(2)
速度の関係式:v=ldθ/dt…(3)

となります
ここでθが微小であるとするとsinθ≒θの近似が成り立ちますので(1)より

mdv/dt=-mgθ…(4)

(3)の両辺をtで微分し(4)に代入し

mld^2θ/dt^2=-mgθ
⇔d^2θ/dt^2=-(g/l)θ

θの二階微分=(負の定数)×θの形になっていますので、これは単振動を表します
角振動数ωが上式より√(g/l)ですので、周期Tは

T=2π/ω=2π√(l/g)…(5)

となります
√の中身の分母分子の順がわからなくなったら、このように導き出すのも手ですが、公式のようになっている感もあるので、いちいち導き出していたら時間が足りなくなります
そこでお勧めな覚え方は、単位を確認することです
(5)の両辺の単位の等式を作れば

[s]=√[m/(m/s^2)]
=√[s^2]
=[s]

となりすぐに確認できます
もしも分母分子を逆にしてしまうと

[s]=√[(m/s^2)/s]
=√[m/s^3]
=[√(m/s)/s]

となりおかしくなります
単位を一緒に覚えることでこのようなミスも無くなりますので参考にしてください

回答No.1

reportpad7

単振り子に対する運動方程式（微分を用いた形）は、
　　　d^2θ/dt^2　＝　-(g/l)sinθ
ここで、θが小さいとして、sinθ≒θと近似します
（sinθのマクローリン展開において1次の項以外を無視することによって得られます）
すると、
　　　d^2θ/dt^2　＝　-(g/l)θ
上式の解は、
　　　θ　＝　A sin{√(g/l) t}　　　　※Aは定数で振幅に相当する
となります（θを元の式に代入すると、確かに成り立っていることが分かります）。
ここで、θは一般に角振動数ωを用いて　θ ＝ A sinωt　と書けますから、上式と比較して、
　　　ω　＝　√(g/l)
となります。
周期 T ＝ 2π/ω ですので、
　　　T　＝　2π√(l/g)
が得られます。
なお、途中でθが小さいという近似を行っておりますので、この周期の値は、振れ幅が小さいときにのみ成り立つものです。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q1922598.html