空間図形の問題がわかりません

質問

半径1の2つの球S(1)、S(2)と半径2の球S(3)が互いに外接している。これらの3つの球を含む半径最小の球をSとするとき、球Sの半径rを求めよ。

という問題です。ご教授お願いしますm(＿ ＿)m

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

３つの球の中心を通る平面で切断して考えると良いです。
切断面をXY座標平面に選べば、３つの球面は、XY座標平面では、半径1の円A,B(2つの球S(1)の切断面の円)および半径2の円O（S(2)の切断面の円）になります。３つの球に外接する最小の球（S）は、図に示すように対称性から、円のA,B,O中心と３つの球の接点と３つの球と最小半径外接球（S）との接点は、XY座標平面上に存在し、図のように各球はXY座標平面では、各球は中心A,B,O,Cする互いに内接または外接する４つの円となります。

XY座標平面で各円の中心座標を図のように配置し、円Aの中心の座標をA(-1,a)とおくと円Bの中心の座標はB(1,a)とおくと、△AOFについて３平方の定理より
　1^2+a^2=(1+2)^2
の関係が成り立つ。これを解けば
　a=2√2
と得られます。
また、最小半径外接球Sの中心Cの座標は、図からC(0,r-2)とおけるから
△ACFについて３平方の定理より
　1+(a-(r-2))^2=(r-1)^2
の関係が成り立つ。これを解けば
　r=2(5+4√2)/7
と得られます。

お礼

ありがとうございます^^
分かりやすい解答でよく理解させていただきました!

回答No.4

ferien

＞半径1の2つの球S(1)、S(2)と半径2の球S(3)が互いに外接している。これらの3つの球を含む半径
＞最小の球をSとするとき、球Sの半径rを求めよ。
円を作図して求めました。
Ｓ１，Ｓ２を左右に、その下にＳ３が接するように円を描きました。
Ｓ１，Ｓ２の中心を結ぶとその中点が接点になりますが、その接点とＳ３の中心をを通る直線を引き、Ｓ３との交点をＡとします。ＡからＳ３，Ｓ１の接点とＳ１の中心を通る直線を引き、Ｓ１との交点をＢ，
ＡからＳ３，Ｓ２の接点とＳ２の中心を通る直線を引き、Ｓ２との交点をＣとします。
Ａを頂点とした二等辺三角形ＡＢＣができます。各辺の垂直二等分線の交点（外心）を求めます。
それが外接円の中心で、半径は３になりました。
円と同じように考えてもいいのなら、外接球の半径は３です。
（長さが求めにくいので、計算では試していません。）

回答No.2

tengenseki

球を円としても同じ答となる。

円Ｓから円Ｓ１、円Ｓ２、円Ｓ３を引いた残りの面積（Ｙ）が
最小となる半径（Ｘ）を求めればよい。

Ｙ＝πＸ＾２－π２＾２－２π１＾２＝π（Ｘ＾２－６）

Ｙが正の値で最小値となるＸ値は、

π（Ｘ＾２－６）＝０

Ｘ＝√６

お礼

簡潔に示していただいたのですが、Sの面積とS1,S2,S3の面積の和が等しくなってしまいませんか？

回答No.1

hrsmmhr

接すると言うことは、内側の球と外側の球の接面の法線ベクトルが同じになります
中心点でできる面の、球1と球2の中心の垂直二等分線上の点で中心を通って接点に至る距離が等しくなるものを探してください

お礼

ありがとうございます！
指針を示して下さったのですが、どうも僕の理解力が不足してるようです。