図形問題

質問

マーク式の問題です。　
教えてください。
すいませんが至急よろしくおねがいします。

　1辺の長さが1の正八角形ABCDEFGHがある。
この正八角形の各頂点から対角線を引き
(AからCへ、BからDへ…　という感じです)、
交点をそれぞれP,Q,R,S,T,U,V,Wとおく。
また、正八角形ABCDEFGHの外接円の中心をOとする。

　(１)∠ABC=アイウ°より、AC^2=エ+√オ　である。

　(2)∠AOC=カキ°よりAO^2=ク＋√ケ/コ　である。

　(3)AP：PQ：QC=1：√サ：シ　より
　　　　　　PQ=√(ス-√セ)　
　　　である。

　(4)正八角形ABCDEFGHの面積は　ソ+タ√チ　である。
　　　また、八角形PQRSTUVWは正八角形であり、
　　　その面積は　ツ√テ　、
　　　その外接円の半径は　ト　である。

回答No.1

Dr-Field · ベストアンサー

アルファベットには置き換えませんのであしからず。

(1)∠ABC＝135°より、CBを延長してHAの延長線との交点をzとすると、三角形ACZは直角三角形で、BC=1、AZ=1/√2であるから、AC^2＝(1/√2)^2+{1+(1/√2)}^2＝2＋√2

(2)∠AOC＝(360/8)×2＝90°より、△AOCはAO=COの直角三角形だから、AO^2＋CO^2＝2×AO^2＝AC^2 → AO^2＝1+(√2)/2

(3)この作図の方法より、□ACEGと□BDFHとは合同かつ正方形である。だから、AP：PQ：QC＝1：√2：1（∵AP=PB＝BQ＝QCかつ△BPQはBP=BQの直角二等辺三角形）であり、PQ={√2/(2+√2)}×AC＝{√2/(2+√2)}×√(1+(√2)/2) → これを丹念に計算すると、√(2-√2)となる。

(4)正八角形ABCDEFGHの面積は△AOBの面積のAO×AO×sin45°を8倍すればよい。
AO^2＝1+(√2)/2、sin45°＝1/√2だから、計算すると面積は4＋4√2と出てくる。
また、正八角形PQRSTUVWも正八角形であり、AB:PQ＝1:√(2-√2)だから、面積比は1:2-√2となるから、(4+4√2)×(2-√2)＝4√2が正八角形PQRSTUVWの面積である。
その外接円の半径はOPの長さをいうが、OA:OP＝AB:PQ＝1:√(2-√2) → OP＝OA×√(2-√2) → 両辺を二乗してOP^2＝OA^2×(2-√2)＝{1+(√2)/2}×(2-√2)＝１
だから外接円の半径＝OP＝１である。

回答No.2

Dr-Field

No.1です。

誤：アルファベットには置き換えませんのであしからず。
正：カタカナには置き換えませんのであしからず。

失礼しました。

お礼

大丈夫です。
ありがとうございました！