空間の問題。

質問

以下の問題がわからなくて困ってます。どうぞよろしくお願いします。

赤道上の一点から出発して,地球の表面上を絶えず北東方向に速度v[km/s]で進み続けるとする。地球を半径r[km]の球として,以下の問に答えよ。
(1)北極点に着くまでにかかる時間T[s]と,それまでに移動する距離を求めよ。
(2)出発点t[s] (t<T)経過するまでに,北極点から見て何ラジアン回転しているか。

そして,もう一問。

地球の中心から任意の距離r離れた点での重力加速度を求めよ。
但し,地球を密度が一様な静止した球とし,他の天体の影響はないものとする。又,地球の半径をa,質量をM,万有引力をGとする。

宜しくお願いします。あと出来ましたらこのような問題を解くためにはどういう勉強をすればよいですか？よい参考書なだございましたら教えて下さい。

回答No.5

siegmund

問題自体の回答は出そろっているようですので，蛇足の補足です．

motsuan さん:
> DescartesのDesの部分がなんで抜けちゃうのかわかりませんが
> そういう言い方をするようです．

デカルト(Rene Descartes，Rene の後ろのｅはアクサンがついています)のラテン名が
Renatus Cartesius だったことによるようです．
フランス語では cartesien (中央のｅはアクサン付き)です．
英語に入って cartesian なのでしょう．

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第２の問題でガウスの発散定理を使うのは motsuan さんの言われるとおりです．
数学的にはベクトル解析の分野です．
物理では静電気学でガウスの法則としてよくテキストに出てきます．
万有引力もクーロン力も 1/r^2 の形ですから，平行に話ができます．

なお，ある点における重力を考えたとき，
その点より内側の質量が地球の中心に集中したように考えていいのは，
1/r^2 という力の距離依存性の結果です．
力がこれ以外の距離依存性をもつときはそうなりません．

回答No.4

motsuan

習った教科書で使っていたので使ってしまいましたが
カーテシアン(cartesian)座標ってデカルト座標のことです。
（DescartesのDesの部分がなんで抜けちゃうのかわかりませんが
　そういう言い方をするようです）

>（２）がガウスの発散定理をつかうことから
と書きましたが、これは２問目の重力の問題のほうです。失礼しました。

回答No.3

motsuan

（１）について、bobさんの回答でよろしいかと思いますが、
（２）の角度まで求めるとなると
極座標を使うのがいいのではないでしょうか？

極座標を使って座標をカーテシアン座標を
　(r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ)
と表すと、緯度方向の速さは
　r sinθdφ/dt
経度方向の速さは
　r dθ/dt　・・・（※１）
となります。従って、北東方向、すなわち
　１：１＝r sinθdφ/dt：r dθ/dt
とすると、
　dφ/dt＝(1/sinθ)dθ/dt　・・・（※２）
となります。これを積分すればＯＫです。
※１から（１）の結果が導かれ、※２から（２）が導けます。

（θはπ/2から０に向けて変化します。）
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参考書としては、．．．？？
私はベクトル解析のときにこういう
座標系を習った（勉強した）気がします。
（２）がガウスの発散定理をつかうことから
ベクトル解析の教科書というのが
いい線ではないでしょうか？

お礼

カーテシアン座標というのは初めて聞きました。こういう問題が解けてしまうmotsuanさんはすごいですね。尊敬しました。
　参考書もベクトル解析の本を見てみることにします。本当に有難うございます。
これから何度か質問することがあるかと思いますのでその時はどうぞ宜しくお願い致します。

補足

あの,,,自分なりに考えてみたのですがどうもmotsuanさんの回答の意味がよく分かりません。これは単に私の勉強不足だと思うのですが。
　＊２を積分すると（２）の結果が導けるという事ですが,もしよろしければ具体的な解法をお教え願えませんでしょうか？

回答No.2

bob

１問目
(1)
北方向への速度成分Vnは常にv/√2、出発点から北極点への地球表面上の最短距離Snは(πr)/2だから、T = Sn/Vn = (√2/2)*πr/v
時刻Tまでに移動する距離S = v*T = (√2/2)*(πr)

(2)
これはちょっとめんどいし、もっと楽な方法があるかも知れないので他の人に任せて方針だけ。
時刻t'における位置の緯線の長さを求めて、これと緯線方向の速度成分Ve=v/√2との比から、時刻t'における角速度ω(t')[rad/s]を求めます。あとは∫ωdt'を０からtまでの範囲で求めれば良いです。多分∫√(a^2-x^2)dxの形の積分問題になります。解き方は高校の微分積分の教科書か参考書に載ってると思いますが、x=a*sin(t)とかで置換すると解けます。

２問目
r=<a と r>aで場合分けが必要になります。

r=<a の時
brogieさんの方針通りですが、(6)式に(5)式を代入すると
(7) g'＝G*r*M/a^3
になります。

r>a の時
一様な球体は中心点において質点近似できるので
g'=G*M/r^2

この問題は高校の物理の教科書の範囲内です。

お礼

どうも有難うございます。納得しました。
　かたく考えすぎていたみたいです。もっと柔軟な思考を持たなければいけないな、と思いました。本当に感謝しています。

回答No.1

brogie

重力加速度について、
中心からｒの点の重力加速度g'を求めて見ましょう。

地上における重力の加速度gは
1kgに働く重力は1*gです。
1kgに働く万有引力はG*M/a^2です。
これは等しいので
（１）g＝G*M/a^2
となります。（これは答えには直接関係ありません。）

地球の密度をρとすると
（２）M＝4*π*a^3*ρ/3
これからρは
（３）ρ＝3*M/(4*π*a^3)
となる。
半径rの球の質量mは
（４）m＝4*π*r^3*ρ/3
3式を代入して、
（５）m＝r^3*M/a^3
距離rにおける万有引力g'は、半径rの球の内部の質量だけできまるから（このことは地球を小さな粒子の集まりとして計算して求めることが出来ます。）
（６）g'＝G*m/r^2
5式を代入して、
（７）g'＝G*r^3*M/a^3
となります。これが答えです。

お礼

初めてこのコーナーに参加してこんなに早く、しかも丁寧な回答が帰ってくるとはおもっていませんでした。感動しました。
　とても分かりやすく書いてくだっさったので理解できました。
どうも有難うございます。