円運動の問題です。教えてくれませんか。

質問

人工衛星を、赤道上の一地点の上にいつまでもいるようにするには、どのような高さで円運動させればよいか。またその速さはいくらか。 地表の重力加速度をg＝9・8メートル毎秒毎秒、地球は半径Ｒ＝6378kmの球とし、地球の公転は無視する。

よろしくお願い致します。

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

地球の半径をR
人工衛星の高さを地上h
地上での重力加速度をg
地球自転の角速度をω
とする。
静止衛星ということは、地球自転の角速度と同じ角速度を持つということで、このとき、回転による遠心力と地上hでの重力が釣り合うということです。
重力は距離の２乗に反比例するので、地球中心からR+hのところでの重力加速度は、R^2/(R+h)^2・gです。この時の遠心力は、(R+h)・ω^2です。
だから、
(R+h)・ω^2=R^2/(R+h)^2・g
で、hを求めればよい。
R=6378[km]=6.378*10^6[m]
ω=2π/(24*3600)[rad/s]
g=9.8[m/s]
として解けば、
h=3.59*10^7[m]=35900[km]
になる。
このときの速さvは、
v=(R+h)ω=3.07*10^3[m/s]=3.070[km/s]
になる。
自分で計算してみてください。
公転を考慮すると0.5%ほど違ってくるか。

お礼

ありがとうございました。