物理の問題なのですが全くわかりません。

質問

物理の問題なのですが全くわかりません。

地球の周りを、地球と同じ周期でまわっている人工衛星は、地上からは静止して見える。地球の半径をＲ(m)、地上での重力加速度の大きさをｇ(m/s^2)、周期をＴ(s)とすると、人工衛星の高度はいくらになるか。

どなたか助けてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。
物理の面白いところの一つですね。

まず、静止して見えるということは、赤道の真上を地球の自転と同じ角速度で回っているということです。

人工衛星にかかる中心力の加速度は、
ａ　＝　ｋ／ｒ^2

ｒ＝Ｒ　のとき　ａ＝ｇ　なので
ｇ　＝　ｋ／Ｒ^2
よって、
ｋ　＝　ｇＲ^2
ａ　＝　ｇＲ^2／ｒ^2　　・・・（あ）

周期Ｔで公転する運動は、時刻をｔと置いて
ｘ　＝　ｒcos（２πｔ／Ｔ　＋　α）
ｙ　＝　ｒsin（２πｔ／Ｔ　＋　α）

ｔで微分すれば速度
ｖx　＝　－ｒ・２π／Ｔ・sin（２πｔ／Ｔ　＋　α）
ｖy　＝　ｒ・２π／Ｔ・cos（２πｔ／Ｔ　＋　α）

さらにｔで微分すれば加速度
ａx　＝　－ｒ・（２π／Ｔ）^2・cos（２πｔ／Ｔ　＋　α）
ａy　＝　－ｒ・（２π／Ｔ）^2・sin（２πｔ／Ｔ　＋　α）

よって、
｜ａ｜　＝　√（ａx^2　＋　ａy^2）
　＝　ｒ・（２π／Ｔ）^2　　・・・（い）

（あ）、（い）より

｜ｇ｜Ｒ^2／ｒ^2　＝　ｒ・（２π／Ｔ）^2
｜ｇ｜Ｒ^2　＝　ｒ^3・（２π／Ｔ）^2
ｒ^3　＝　｜ｇ｜（ＲＴ／（２π））^2
ｒ　＝　｜ｇ｜^(1/3)・（ＲＴ／（２π））^(2/3)　　・・・こたえ

ケプラーの第３法則
「惑星（衛星）の公転周期Ｔの2乗は、軌道の長半径ｒの3乗に比例する」
の式になりましたね。