2項定理を微分すると？

質問

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回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
画像はつぶれてしまうこともあるので、
文字はきちんと打ち込んでもらった方が・・・

で、本題ですが、「aで微分した」結果は 2とおりの方法で求めることができます。
単に、左辺を微分するか、右辺を微分するかの違いです。

・左辺を微分
簡単な合成関数の微分として、以下のように求まります。
{ (a+b)^n } '＝ n* (a+b)^(n-1)

このまま、微分した結果の n-1乗をさらに二項定理で展開してしまうという方法もあります。

・右辺を微分
展開された項の一つ（k+1）番目は、
nＣk* a^(n-k)* b^k

と表されます。この項を aで微分すると、
nＣk* (n-k)* a^(n-k-1)* b^k
＝ n* (n-1)Ｃk* a^{ (n-1)-k }* b^k

と整理することができます。
各項の和として右辺は与えられるので、
(右辺の微分)
＝ n* Σ (n-1)Ｃk* a^{ (n-1)-k }* b^k
＝ n* (a+b)^(n-1)

と左辺の微分と同じ式が得られます。
（逆に左辺の微分を展開した式は上の形になります）

で、「二項係数も変化するのでしょうか？」との問いですが、
微分すると式の次数自体が下がっているので、単純に比較ができなくなっています。
（展開した項数が違っている）
なので、変化するとは言いづらいかと思います。

お礼

こんばんわ。たいへん早い回答頂きありがとうございます。
数式をうまく打てないので手書きしましたが、文字がつぶれてたいへん失礼しました。パソコンにまだ不慣れなものでおゆるしを。