複素数の問題

質問

Z＾6＝-1
⇔ｚ＾6＝cos(180+360k)+i(180+360k)
⇔z=cos(180+360k)+i(180+360k)^(1/6)

最後の式なのですが、なぜあのように変形してもよいのでしょうか？
例えば
ｘ＾4＝1
⇔ｘ＝1＾(1/4)
ってやったらまずいですよね？

わかりにくい質問かもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

kについての定義がないのですが、おそらくは「kは任意の整数」ということでしょうね。それがご質問の変形が許される理由です。

複素数が一般にr(cosθ+i sinθ)の形で表されることはご存じかと思います。rは実数で原点からの距離に相当し、θはx軸から左回りの角度(偏角)です。
この数を2回かけたなら
r^2 {cos^2 θ-sin^2 θ+2i(sinθcosθ)}
=r^2 (cos 2θ+i sin2θ)
となって、絶対値はr^2に、偏角は2θになります。3回かければ3θになります。

さてご質問の式は「ある数zを6回かけたら、180°方向を向いた」ということに相当します。
しかしそれは30°ずつ6回進んで180°になったのかも知れませんし、90°ずつ6回進んだのかも知れません。他に150°、210°、270°、330°も条件を満たします。下図をご覧下さい。
(なお390°についてはcos(390°)+i sin(390k°)=cos(30°)+i sin(30k°)となって最初に挙げた30°と同じことですから、390°以上の角度については検討しなくて大丈夫です)

　　　　↑
　　　　┃
　－１　┃
━━○━╋━━━━→
　　　　┃
　　　　┃
図　原点の周りを何回回って-1に辿り着いたか?

ですから
z^6=-1
を
z={cos(180°+360k°)+i sin(180°+360k°)}^(1/6)
と式変形しても、k=0, 1, 2, 3, 4, 5としておけば漏れはなく、ご質問の式変形は等価ということになります。もちろん0～5でなくても1～6や3～8でも構いませんし、「全ての整数」としても(とんでもなく冗長ですが)構いません。

x^4=1
についても
x＝1^(1/4)
とするのでなく、
x={cos(0°+360k°)+i sin(0°+360k°)}^(1/4)
と変形して、k=0, 1, 2, 3とすれば、
x={cos(0°)+i sin(0°)}　　k=0
x={cos(90°)+i sin(90°)}　　k=1
x={cos(180°)+i sin(180°)}　　k=2
x={cos(270°)+i sin(270°)}　　k=3
となって、1, i, -1, -iの全ての根が正しく得られます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ｋがいくつをとるか、ということをしっかり考えればいいのですね。
よくわかりました(＾＾)
参考にさせていただきます。

回答No.3

shinchan_k

>ｘ＾4＝1
>⇔ｘ＝1＾(1/4)
>ってやったらまずいですよね？

x^4=1=cos(360K)+isin(360k)より、
x=(cos(360K)+isin(360k))^(1/4)

とすればokです。

お礼

ごかいとう有り難うございました。
参考にさせていただきます。

回答No.1

noname#6587

式を何か間違えてませんか？

補足

z=[cos(180+360k)+isin(180+360k)]^(1/6)
でした。
ご指摘ありがとうございますｍ(＿＿)ｍ