複素数・数列の問題について

質問

次のような問題ですが、解けません。計算間違いだと思いますが、煮詰まったので、どなたか助けてください。

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・複素数平面上に原点OとP1(1,0)を取る。P1から、長さ1/√2の、反時計回り45度に取った線分を引き、終点をP2とする。更に点P2から、長さ(1/√2)^nの、直線P1P2から反時計回り45度に取った線分を引き、P3とする。同様に線を引いていき、取る点を各々Pnとする。

(1).P5を求めよ
(2).Pnの極限を求めよ
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解答では、Pn - Pn-1 は　公比　1.√2(cosπ/4 + i sin π/4)　の等比数列　と書かれています。
問題文を見る限り、Pn = Pn-1 + (1/√2) Pn-1 (cosπ/4 + i sin π/4)　の式であり、等比数列には見えません。
何が間違っているのでしょうか。

Pn=Pn-1 + (1/√2) Pn-1 (cosπ/4 + i sin π/4)
(cosπ/4 + i sin π/4) = k　として、

回答No.4

f272

図がかけているのに式が立てられないのは、複素数の演算と複素平面上の点の移動がどのように対応しているかがわかっていないせいですね。
原点を中心とする回転が頭にこびりついているのかな？

P1*(cosπ/4 + i sin π/4)はつまり、Oを中心としてP1を45度回転したということだよ。

回答No.3

yyssaa

質問の「・・・長さ(1/√2)^nの、」を「・・・長さ(1/√2)^2の、」
に訂正して回答します。
(1)＞
P1=1
P2={1+(1/√2)cos(π/4)}+i(1/√2)sin(π/4)
P3={1+(1/√2)cos(π/4)+(1/√2)^2cos2*(π/4)}
+i{(1/√2)sin(π/4)+(1/√2)^2sin2*(π/4)}
P4={1+(1/√2)cos(π/4)+(1/√2)^2cos2*(π/4)
+(1/√2)^3cos3*(π/4)}
+i{(1/√2)sin(π/4)+(1/√2)^2sin2*(π/4)
+(1/√2)^3sin3*(π/4)}
P5={1+(1/√2)cos(π/4)+(1/√2)^2cos2*(π/4)
+(1/√2)^3cos3*(π/4)+(1/√2)^4cos4*(π/4)}
+i{(1/√2)sin(π/4)+(1/√2)^2sin2*(π/4)
+(1/√2)^3sin3*(π/4)+(1/√2)^4sin4*(π/4)}
={1+(1/√2)^2+0+(1/√2)^3*(-1/√2)-(1/√2)^4}
+i{(1/√2)^2+(1/√2)^2+(1/√2)^3*(1/√2)}
=(1+1/2-1/4-1/4)+i(1/2+1/2+1/4)=1+i(5/4)
(2)＞
Pn=1+∑(j=1→n-1)(1/√2)^jcos(jπ/4)+i(1/√2)^jsin(jπ/4)
=1+∑(j=1→n-1)(1/√2)^j{cos(jπ/4)+isin(jπ/4)}
=1+∑(j=1→n-1)(1/√2)^j{cos(π/4)+isin(π/4)}^j
=1+∑(j=1→n-1)[(1/√2){cos(π/4)+isin(π/4)}]^j
Pn-1=1+∑(j=1→n-2)[(1/√2){cos(π/4)+isin(π/4)}]^j
よって
Pn-Pn-1=[(1/√2){cos(π/4)+isin(π/4)}]^(n-1)
ということで、Pn - Pn-1は等比数列になります。
あとはいいですね？

回答No.2

yyssaa

質問には
・・・更に点P2から、長さ(1/√2)^nの、・・・とありますが、
・・・更に点P2から、長さ(1/√2)^2の、・・・の誤りでは？
もしそうなら、P5は以下のようになりますが？
P1=1
P2={1+(1/√2)cos(π/4)}+i(1/√2)sin(π/4)
P3={1+(1/√2)cos(π/4)+(1/√2)^2cos2*(π/4)}
+i{(1/√2)sin(π/4)+(1/√2)^2sin2*(π/4)}
P4={1+(1/√2)cos(π/4)+(1/√2)^2cos2*(π/4)
+(1/√2)^3cos3*(π/4)}
+i{(1/√2)sin(π/4)+(1/√2)^2sin2*(π/4)
+(1/√2)^3sin3*(π/4)}
P5={1+(1/√2)cos(π/4)+(1/√2)^2cos2*(π/4)
+(1/√2)^3cos3*(π/4)+(1/√2)^4cos4*(π/4)}
+i{(1/√2)sin(π/4)+(1/√2)^2sin2*(π/4)
+(1/√2)^3sin3*(π/4)+(1/√2)^4sin4*(π/4)}
={1+(1/√2)^2+0+(1/√2)^3*(-1/√2)-(1/√2)^4}
+i{(1/√2)^2+(1/√2)^2+(1/√2)^3*(1/√2)}
=(1+1/2-1/4-1/4)+i(1/2+1/2+1/4)=1+i(5/4)

回答No.1

f272

> 問題文を見る限り、Pn = Pn-1 + (1/√2) Pn-1 (cosπ/4 + i sin π/4)　の式であり、等比数列には見えません。

問題文を誤解しているようです。

お礼

ありがとうございます。
この図は描けています。
問題文の誤読でないと、自分の間違いが分からないのですが、どこが間違っているのかがサッパリ分かりません。