複素数の問題について

質問

次の問題の解答と解説をお願いいたします。
分かりやすい解説お願いします。
(1)方程式z^3=-iを解きなさい。

(2)方程式z^3=-iの解をz1,z2,z3とするときの、z1+z2+z3を求めなさい。

回答No.5

info22

#1、#4です。

#4の補足の質問の解答
>単位円での解法は、まったくわかりません。

単位円の解法は何処の高校でも習うはずです。
単位円は重要で、基本的な概念で、使いこなせば、非常に役立つツールになります。マスターしておかないと数学の問題を考える上で大きな遅れを摂るかと思います。

1やiや-iや(1+i)/√2など
のような絶対値=1のn乗根は単位円周上に等間隔に並びます。
x^3=-i=i^3の3乗根の場合、3乗根の1つがZ1=iなので添付図のように、他の2つの３乗根z2,z3は円周の3等分点になります。
図からz2,z3の複素座標がすぐも求まると思います。
また、z1,z2,z3を位置ベクトルと考えれば
z1+z2+z3=0は明らかです。

理解できなければ、単位円を復習しなおすか、諦めるか、どちらかですね？
単位円を理解できないようでは先々困ると思います...。

回答No.4

info22

#1です。

ヒントをお書きしましたが、補足が何もなしですか？
(1)
>i^3=-iなので解の1つはi
z^3=-i=i^3
z^3-i^3=(z-i)(z^2-iz+i^2)=(z-i)(z^2-iz-1)=0
z1=i,z2,z3={i±√(-1+4)}/2=(i±√3)/2

単位円を書けばすぐ求まりますが、
z1=iが既知ですから因数分解できて
2次方程式の解の公式からz2,z3も計算できますね。

(2)
>z^3+i=(z-z1)(z-z2)(z-z3)=z^3-(z1+z2+z3)z^2+(...)z - z1z2z3
>係数を比較すると？
z^2の係数0なので
z1+z2+z3=0
がすぐ出てくると思いますが...。

補足

方程式での解法は理解できたのですが、
単位円での解法は、まったくわかりません。

何をどのように書いたら、いいのか分かりません。

回答No.3

mister_moonlight

＞i^3=i*i*i=(-1)*i=-iとなるのではないでしょうか？

ごめん、計算ミス。以下に、回答を訂正。

-i＝(i)(i)＾2＝i＾3より、方程式：z^3＋i＝z^3-i＾3＝(z-i)(z＾2＋iz＋i＾2)＝(z-i)(z＾2＋iz-1)＝0.　‥‥(1)　これを解くだけ。

＞(2)方程式z^3=-iの解をz1,z2,z3とするときの、z1+z2+z3を求めなさい

(1)より、z1＝i、z＾2＋iz-1＝0より、z2+z3＝-i。つまり、z1+z2+z3＝0.

回答No.2

mister_moonlight

i＝-(i)(i)＾2＝i＾3より、方程式：z^3＋i＝z^3＋i＾3＝(z＋i)(z＾2-iz＋i＾2)＝(z＋i)(z＾2-iz-1)＝0.　‥‥(1)　これを解くだけ。

＞(2)方程式z^3=-iの解をz1,z2,z3とするときの、z1+z2+z3を求めなさい

(1)より、z1＝-i、z＾2-iz-1＝0より、z2+z3＝i。つまり、z1+z2+z3＝0.

補足

i＝-(i)(i)＾2＝i＾3のところなのですが、

i^3=i*i*i=(-1)*i=-iとなるのではないでしょうか？

回答No.1

info22

問題の丸投げ投稿（マナー違反）なのでヒントだけ

ヒント）
(1)
i^3=-iなので解の1つはi
後は単位円を描いて求める。

(2)
z^3+i=(z-z1)(z-z2)(z-z3)=z^3-(z1+z2+z3)z^2+(...)z - z1z2z3
係数を比較すると？