高校数学です。「x の2次関数～」

質問

高校数学です。
「x の2次関数 f(x)=x^2-4ax+b （a, b は定数）の x における最小値を m とする。
a, b が不等式 2a-b≧3 を満たしながら変化するときの ｍ の最大値、および、そのときの a, b の値を求めよ。」
この問題がわかりません。
どなたか、解と解法を教えていただけないでしょうか。

なお、当方、数IAの知識までしかない状況です。

よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

高校数学です。
「x の2次関数 f(x)=x^2-4ax+b （a, b は定数）の x における最小値を m とする。
a, b が不等式 2a-b≧3 を満たしながら変化するときの ｍ の最大値、および、そのときの a, b の値>を求めよ。」

f(x)=x^2-4ax+b （a, b は定数）
＝（ｘ^2－４ａｘ＋４ａ^2）－４ａ^2＋ｂ
＝（ｘ－２ａ）^2＋ｂ－４ａ^2
下に凸なので、最小値はｂ－４ａ^2（ｘ＝２ａのとき）
ｍ＝ｂ－４ａ^2とおく。
ｂ＝４ａ^2＋ｍ　……（１）
2a-b≧3より、ｂ≦２ａ－３　……（２）
２つの式をａとｂの関数と見てグラフを描いてみると、
（２）は、ｂ＝２ａ－３のグラフの境界を含んで下側を表しているから、
（１）のｍが最大になるのは、（１）と（２）が接しているとき。
４ａ^2＋ｍ＝２ａ－３とおいて、
４ａ^2－２ａ＋ｍ＋３＝０　…（３）
判別式Ｄ＝２^2－４×４×（ｍ＋３）＝０
これを解いて、ｍ＝-11/4
（３）より、ａ＝1/4，（２）の式よりｂ＝-5/2
よって、
ｍ の最大値、および、そのときの a, b の値は、
ｍ＝-11/4，ａ＝1/4，ｂ＝-5/2

お礼

簡潔でいて、なおかつわかりやすい回答でした。
大変、助かりました。
ありがとうございます。
（お礼が遅くなり、済みません。）