微分の問題

質問

f(x)= x^2 sin π/x^2

これを微分すると、f (x)'= 2x sinπ/x^2 - 2π/x cosπ/x^2 となるのですが、これを導く過程を教えてください。

それから、このf(x)' に、1/√n を代入すると、
f(1/√n)'= 2/√n sin nπ-2π√n cos　nπ= (-1)^n+1・2π√n となるのですが、これを導く過程もよろしければ、教えてください。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

積の微分法を用いて計算します．

f(x)＝ x^2 sin(π/x^2)

に対して，

u＝ x^2
v＝ sin(π/x^2)

とおくと，f(x)＝ x^2 sin(π/x^2)
は，

f(x)＝ uv

となります．これを微分すると，

f'(x)＝ u'v ＋ uv'

です． u' と v' は，

u'＝ 2x

v'＝(π/x^2)'cos(π/x^2)＝π(－2x/x^4)cos(π/x^2)＝－(2π/x^3)cos(π/x^2)

v'＝－(2π/x^3)cos(π/x^2)

故に，f'(x)＝ u'v ＋ uv' は，

f'(x)＝u'v＋uv'＝[2x][sin(π/x^2)]＋[x^2][－(2π/x^3)cos(π/x^2)]

f'(x)＝2x sin(π/x^2) －(2π/x)cos(π/x^2)

となります．

f'(x) に，x＝1/√n を代入すれば，

f'(1/√n)＝2(1/√n) sin(π/(1/√n)^2) －(2π/(1/√n))cos(π/(1/√n)^2)

f'(1/√n)＝(2/√n) sin(π/(1/n)) －(2π/(1/√n))cos(π/(1/n))

f'(1/√n)＝(2/√n) sin(nπ) －(2π√n)cos(nπ)

n＝0，1，2，3，4，5,・・・

ならば，

sin(nπ)＝0

cos(nπ)＝ －1，（ 奇数：　n＝1，3，5，7，・・・）

cos(nπ)＝ 1，（ 偶数：　n＝0，2，4，6，8，・・・）

なので，

cos(nπ)＝(－1)^n

と書くことが出来ます．したがって，

f'(1/√n)＝(2/√n) sin(nπ) －(2π√n)cos(nπ)

は，

f'(1/√n)＝(2/√n)・0 －(2π√n)・(－1)^n

f'(1/√n)＝ －(2π√n)・(－1)^n

f'(1/√n)＝ (－1)・(2π√n)・(－1)^n

f'(1/√n)＝ (－1)^(n＋1)・(2π√n)

となります．

お礼

完璧に理解することができました。
特に、sin(nπ)＝0

cos(nπ)＝ －1，（ 奇数：　n＝1，3，5，7，・・・）

cos(nπ)＝ 1，（ 偶数：　n＝0，2，4，6，8，・・・）

の所は理解できてすっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.1

info22_

こう言った所で活字で一行書きするときはカッコで分数の範囲や関数の引数の範囲や
べき乗の指数部の範囲を
括って正しい式が伝わるように書いて下さい。
微分の「'」を書く位置に注意！

f(x)= (x^2)*sin(π/x^2)
積の微分公式より
f'(x)=(x^2)'*sin(π/x^2)+(x^2)*(sin(π/x^2))'
合成関数の微分公式より
=2x*sin(π/x^2)+(x^2)*(cos(π/x^2))*(πx^(-2))'
=2x*sin(π/x^2)+(x^2)*(cos(π/x^2))*(-2πx^(-3))
=2x*sin(π/x^2)-2π(x^(-1))*cos(π/x^2)
=2x*sin(π/x^2)-(2π/x)*cos(π/x^2)

x=1/√n, 1/x=√n, 1/x^2=n を代入して
f'(1/√n)=(2/√n)sin(πn)-(2π√n)*cos(πn)

公式sin(πn)=0, cos(πn)=(-1)^n より

=(2/√n)*0-(2π√n)*(-1)^n
=-((-1)^n)*(2π√n)
=((-1)^(n+1))*2π√n

(注)
　cos(πn)=(-1)^n　は
nが偶数のとき 1 ,奇数のとき　-1 となります。

お礼

'の位置や、カッコの範囲を分かりにくく書いてしまいすみませんでした。
分かりやすい回答をありがとうございました。