因数分解

質問

(1)2a^3-3a^2+1=0

(2)2a^3-3a^2-4=0

を因数分解せよ、です。

こつも教えてください。お願いします。

回答No.3

JOUNIN · ベストアンサー

因数定理はご存知ですか？
「多項式f(x)がx-αで割り切れる⇔f(α)=0」
というものが因数定理と呼ばれるものです

ではこのαの値をどう推量すればいいのか、というと因数分解したい式の
定数項と最高次の係数に注目してみるのが手がかりです
わかりやすくするために最高次の係数が1の場合に限定して考えます

f(x)=x^n+a_(n-1)x^(n-1)+……a_2x^2+a_1x^1+a_0(a_i(i=0~n-1)∈Z)
とおき、これがx-αで割り切れる時
f(x)
=(x-α){x^(n-1)+………-(a_0/α)}
と変形できますね？途中の…の部分はよくわかりませんがx-αで割った時の
商の最高次と定数項については定めることができます
これからわかることは、最高次の係数が1の時はαは必ずa_0の約数になるということです
つまりαを推量する際、a_0の約数を手当たり次第f(x)に入れていき、
その値が0になるものを探せばいいことになります

また最高次の係数が1ではないときは
f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+……a_2x^2+a_1x^1+a_0(a_i(i=0~n)∈Z,a_n≠0,1)
とおき、これがx-αで割り切れる時
f(x)
=a_n(x-α){x^(n-1)+………-(a_0/(a_nα))}
と変形できます。こちらも途中の…の部分はよくわかりませんが、上と同様に考えると
αは必ず(a_0の約数)/(a_nの約数)となりますので、そこからαが推量されます

問題に議論を移しますと(1)について、最高次の係数が2、定数項が1ですので
αの候補は±1,±1/2です
ここで手当たり次第に代入してみるとα=1で与式が0になりますので、与式は
a-1で割り切れることがわかります
(2)も同様に考えるとαの候補は、±1,±2,±4,±1/2であり、手当たり次第に代入すると
α=2で与式が0になるので、与式はa-2出割り切れることがわかります
候補まで絞れたらあとは手当たりしだい代入するだけですのでこの方法に慣れてください

お礼

スーパー級に遅くなってすみません！今日やっとみました！

ありがとうございます！

回答No.2

edomin7777

＃１です。

取り敢えず、示された数式に

1,-1,2,-2,3,-3

を代入してみて成り立つかどうかを考えます。

それで無理なら諦める…。ｗ

回答No.1

edomin7777

(1)
パット見ただけで、a=1なら成り立ちそうだ…。
(a-1)で割ってみよう。

(2)
パット見ただけで、a=2なら成り立ちそうだ…。
(a-2)で割ってみよう。

補足

どうすればぱっと見たらわかるんですか？