積分路変形の原理で質問

質問

[問] s∈C, Map((0,2π),C)∋f; (0,2π)∋∀ε→f(ε):=∫_0^{2π} (εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ,
但し, C_ε: z(t):=ε(cos(εt(2π))+isin(εt(2π))) (if ε≧1,1/ε≦t≦2/ε), ε(cos(2πt/ε)+isin(2πt/ε)) (if ε<1,ε≦t≦2ε)
この時,fはconstantである事を示せ。

を示しています。半径εの円に囲まれた領域(左図)はs=0でg(s):=(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθは正則ではないのでCauchyの積分定理は使えません。それで半径δ(<ε)の円を考えると
∫_{C_ε}g(s)ds,∫_{C_δ}g(s)ds∈{∫_{C_ε}g(s)ds∈C;0<ε}=:Aで ∫_{C_ε}g(s)ds=∫_{C_δ}g(s)ds …【1】が成り立つ
(∵2円に囲まれた円環部分ではf(s)は正則なので積分路変形の原理による)。
Aから任意の2元を採ると必ず等しくなるのでAは単集合とわかる。
更に ∫_{C_ε}g(s)ds=lim_{δ→0}∫_{C_δ}g(s)ds (∵【1】) =0 (∵lim_{r→0}{(x,y)∈R^2;x^2+y^2=r^2}={(0,0)}よりlim_{δ→0}∫_{C_δ}g(s)ds =0と分かる)
従って, ∫_0^{2π} (εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ =0となりfはconstant.
となったのですがこれは間違いらしいのです。一体どこがおかしいのでしょうか?

回答No.3

ringohatimitu

一番最後の部分

「実軸より下の方では(2πi(Re(z))^{s-1}に収束する」

と書きましたが、正しくは

「実軸より下の方ではe^{2πi(s-1)}(Re(z))^{s-1}=e^{2πis} (Re(z))^{s-1}に収束する」

でした。訂正しておきます。ここの回答欄に逐一詳細を書くには限界があり後半の積分公式以降の詳細を省きましたが分からない場合はまた補足してください。

回答No.2

ringohatimitu

>>えっ。何故ですか??
任意のεに対して
∫_∞^εu^{s-1}/(exp(u)-1)du+∫_0^{2π}(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(ε
exp(iθ))-1) dθ+∫_ε^∞exp(2πis)u^{s-1}/(exp(u)-1) du
はRiemannのζ関数の定義式になるのですよね。

いやいや、だから問題を正確に記載してくださいと言ったんですよ。明らかに添付画像と違うでしょう。添付画像では第二項しかありませんでしたよ。これなら定数関数になります。ちなみにこれだけではζ関数に等しくありません。更にこれであればεを(0,2π)に制限してる意味が分かります。

>>この時, ∫_∞^εu^{s-1}/(exp(u)-1)duと∫_ε^∞exp(2πis)u^{s-1}/(exp(u)-1) du
とは(方向が正反対なので)互いに打ち消しあい0。

何故ですか？片方にexp(2πis)がありますが打ち消しあいますか？（sが整数のときは打ち消しあいますが）。

まず複素関数の対数関数、指数関数など、特に分岐について復習することを強くおすすめします。
その理解不足が誤解を招いているように思えます。積分路についてもよく見直してください。

以下に

I(ε)=∫_∞^εu^{s-1}/(exp(u)-1)du+∫_0^{2π}(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(ε
exp(iθ))-1) dθ+∫_ε^∞exp(2πis)u^{s-1}/(exp(u)-1) du

がεに依存しないことを示します。
添付画像のように積分路をとります。小さい方の円の半径がε、大きい方の円の半径がρです。共に2πより小さいとします。4つの線分は実軸からδ、2δだけそれぞれ離れてます（後にδ→0とします）。
積分路の一番右側のx座標をRとします（後にR→∞とします）。
さて、この積分路の中ではz^{s-1}の分岐を実軸にとっておけば関数
z^{s-1}/(e^z -1)
は正則ですから積分公式より複素積分の値は0になります。
まず、R-(2δ)iからR-δiまでの線分上、R+δiからR+(2δ)iまでの線分上での積分はR→∞で0に収束します。従って、上の積分公式による方程式でR→∞した後、δ→0とすれば

I(ε)=I(ρ)

が得られます。
ここで、δ→0のときに、z^{s-1}=e^{(s-1)log(z)}によって実軸より上では(Re(z))^{s-1}、実軸より下では(2πiRe(z))^{s-1}に収束することに注意ｓが必要です。

回答No.1

ringohatimitu

問題は合ってますか？多分fは定数にはならないと思いますよ。
それから質問者さんはsを変数として積分していますがsは与えられた複素数ですよね？
fの定義域が(0,2π)に制限されてるのもよく分かりません（すなわち、(0,∞)で定義されるのにわざわざ2πで区切ってある）。

お礼

> 問題は合ってますか？

元々の問題は
『s∈C, Map((0,∞),C)∋f; (0,2π)∋∀ε→f(ε)
:=sexp(sγ)Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)du
=∫_∞^εu^{s-1}/(exp(u)-1)du+∫_0^{2π}(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ+∫_ε^∞exp(2πis)u^{s-1}/(exp(u)-1) du
の時,fは定数関数となる事を示せ。但し,
ε≧1の時、C:z(t):=1/t (if 0<t<1/ε),ε(cos(εt(2π))+isin(εt(2π))) (if 1/ε≦t≦2/ε),1/(1-t)-ε/(ε-2)+ε(if 2/ε<t<1)、
ε<1の時、C:z(t):=ε^2/t (if 0<t<ε),ε(cos(2πt/ε)+isin(2πt/ε)) (if ε≦t≦2ε),ε(1-2ε)/(1-t) (if 2ε<t<1))』

という問題です。どのような曲線かというと∞から実軸上をε迄動いて半径εの円を反時計回りに一周してεから実軸上を∞へと帰っていくような曲線です。
この時, ∫_∞^εu^{s-1}/(exp(u)-1)duと∫_ε^∞exp(2πis)u^{s-1}/(exp(u)-1) duとは(方向が正反対なので)互いに打ち消しあい0。
従って∫_0^{2π}(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ部分が定数になると予想しました。

> 多分fは定数にはならないと思いますよ。

えっ。何故ですか??
任意のεに対して
∫_∞^εu^{s-1}/(exp(u)-1)du+∫_0^{2π}(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ+∫_ε^∞exp(2πis)u^{s-1}/(exp(u)-1) du
はRiemannのζ関数の定義式になるのですよね。

> それから質問者さんはsを変数として積分していますがsは与えられた複素数ですよね？

はい,さようです。

> fの定義域が(0,2π)に制限されてるのもよく分かりません（すなわち、(0,∞)で定義されるのにわざわざ2πで区切ってある）。

そうでした。(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)の内部ではfは原点で非正則でしたね。
∫_0^{2π}(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθの部分だけ考えれば十分でした。

そしてs=2nπ(但し,s∈Z)の時,
(分母)=exp(2πis)-1=exp(2πi(Re(s)+iIm(s)))-1=exp(-2πIm(s)+2πiRe(s))-1=exp(-2πIm(s))exp(2πiRe(s))-1
=exp(-2πIm(s))(cos(2πRe(s))+isin(2πRe(s)))-1=exp(-2π・0)(cos(2π・(2nπ))+isin(2π・(2nπ))-1
=cos(4nπ^2)+isin(4nπ^2)-1=cos(4nπ)cosπ-sin(4nπ)sinπ+i(sin(4nπ)cosπ+cos(4nπ)sinπ)-1(∵加法定理)
=1・(-1)-0・0+i(0・(-1)+1・0)-1=-2≠0
故に,(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)は原点以外の複素平面では正則でしたね。