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重積分
数学の参考書に載っていた重積分問題で G(x,y,t)=(1/t)exp(-(x^2+y^2)/4t) (t>0)としたとき (1) ∂G/∂x,∂G/∂tをそれぞれ求めよ。(G=G(x,y,t)) (2) 各tに対して,次の積分I(t)を計算せよ。 I(t)=∬G(x,y,t)dxdy D={(x,y,t)|-∞<x<∞,-∞<y<∞,t>0} という問題なのですが, (1)は∂G/∂x=(-x/2t)G,∂G/∂t={(x^2+y^2)/4t^2-1/t}G と解けたのですが, (2)が参考書の解答では極座標に変換して∫exp(-x^2)dxの考え方で ∫dθ∫r(1/t)exp(-r^2/4t)dr D'={(r,θ,t)|0<r<ε,0<θ<2π,t>0} =4π(1-exp(-ε^2/4t)) lim(ε→∞) 4π(1-exp(-ε^2/4t))=4π としているのですが,これだと完全にtを無視している形になっていると思うのですが,t>0という条件だけでこのようにtを無視しても良いんでしょうか?? それに(1)の問題の意味は?と考えてしまうのですが 考え過ぎなのでしょうか…。 別解や解説お願いします。
- Kiriya_0
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t が無視されたような気がして気になるなら、 I(t) = (1/t) ∬ exp( -(x^2+y^2)/4t ) dx dy と、 1/t を括り出してみればよいでしょう。 更に、(x/√t, y/√t) = (u, v) と変数変換すると、 この問題で、t について何が起こっているか解ります。 ガウス積分を知っていれば、 積分の具体的な値を求めることもできますが、 それは、t が消えるカラクリとは、また別の話です。
その他の回答 (1)
tは端から無視されているのではなく、正の定数であれば、x,y→∞ 今の場合、ε→∞に対し、e^{-ε^2/(4t)} が無視小になるという 評価において使われ、0 という結果に導びいたのです。
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