問題

質問

数学の問題です。(１)はわかるのですが、(２)がいまいちわかりません教えてください
(１)ｙ＝｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のグラフをかけ。
(２)方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
出来れば図もかいて、わかりやすく説明してくれたらうれしいです。

回答No.4

yyssaa

(１)でのグラフは
２≦ｘでｙ＝２ｘ－１：点(0,-1)と点(2,3)を通る直線
－１≦ｘ＜２でｙ＝３：点(0,3)を通るx軸に平行な直線
ｘ＜－１でｙ＝－２ｘ＋１：点(0,1)と点(1,-1)を通る直線
になっていますか？

(２)方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在する
ということは、同じxの値でy=｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のyの値と
y=axのyの値が等しくなるxが存在するということです。
言い換えれば、y=｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のグラフとｙ＝axの
グラフが交わるということです。
そためのaの値の範囲を求めるのが(2)の問題です。
まず、2≦xでｙ=2x-1とy=axの連立方程式を解きます。
ax=2x-1
(a-2)x=-1
x=-1/(a-2)≧2・・・(ア)
a-2＞0の時(ア)式は
-1≧2(a-2)となり
-1≧2a-4
4-1≧2a
3/2≧aとなりますが、ここではa-2＞0を条件としているので、
3/2≧aは答えになりません。
a-2＜0の時(ア)式は
-1≦2(a-2)となり
-1/2≦a-2
2-1/2≦a
3/2≦aとなり、a-2＜0の条件と合わせて3/2≦a＜2・・・(1)
が答えの一つになります。
次に、-1≦x＜2でy=3とy=axの連立方程式を解きます。
3=ax
3/a=x
-1≦x=3/a＜2・・・(イ)
a＞0の時(イ)式は
-a≦3＜2aとなり
a≧-3かつa＞3/2とa＞0の条件を合わせてa＞3/2・・・(2)
が答えの一つとなります。
a＜0の時(イ)式は
-a≧3＞2aとなり
a≦-3かつa＜3/2とa＜0の条件と合わせてからa≦-3・・・(3)
が答えの一つとなります。
最後に、x＜-1でy=-2x+1とy=axの連立方程式を解きます。
ax=-2x+1
(a+2)x=1
x=1/(a+2)＜-1・・・(ウ)
a+2＞0の時(ウ)式は
1＜-(a+2)
a+2＜-1
a＜-3となりますが、a+2＞0を条件としているので、a＜-3は
答えになりません。
a+2＜0の時(ウ)式は
1＞-(a+2)となり
a+2＞-1
a＞-3となり、a+2＜0の条件と合わせて-3＜a＜-2・・・(4)
が答えの一つとなります。
以上の答えをまとめて書くと
3/2≦a＜2・・・(1)
a＞3/2・・・(2)
a≦-3・・・(3)
-3＜a＜-2・・・(4)
となり、
a＞3/2・・・(2)が条件に合っているので3/2≦a＜2・・・(1)と
合わせて3/2≦aが答えの一つになり、
a≦-3・・・(3)と-3＜a＜-2・・・(4)からa＜-2が答えの一つに
なるので、
方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在するような
定数aの値の範囲は、3/2≦aとa＜-2になります。