問題

質問

数学の問題です。(１)はわかるのですが、(２)がいまいちわかりません教えてください
(１)ｙ＝｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のグラフをかけ。
(２)方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
出来れば図もかいて、わかりやすく説明してくれたらうれしいです。

回答No.3

ferien

>数学の問題です。(１)はわかるのですが、(２)がいまいちわかりません教えてください
>(１)ｙ＝｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のグラフをかけ。

ｘ＜－１のとき、ｙ＝－２ｘ＋１……（ア）
－１≦ｘ＜２のとき、ｙ＝３……（イ）
２≦ｘのとき、ｙ＝２ｘ－１……（ウ）

>(２)方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
>出来れば図もかいて、わかりやすく説明してくれたらうれしいです。

ｙ＝ａｘと（１）の式の交点のｘ座標を求めて、それぞれのｘの範囲から、ａの値の範囲を求めます。

（ア）より
ａｘ＝－２ｘ＋１
（ａ＋２）ｘ＝１　ａは－２でないとすると、
ｘ＝１／（ａ＋２）　これを　ｘ＜－１　に代入して、
１／（ａ＋２）＜－１

ａ＋２＞０　ａ＞－２　のとき、
１＜－（ａ＋２）
ａ＜－３　これはａ＞－２の範囲にないので適さない。

ａ＋２＜０　ａ＜－２のとき、不等号の向きが変わります。
１＞－（ａ＋２）
ａ＞－３　これはａ＜－２の範囲にあるので適する。
共通部分は、（ａは－２でないも考慮して）
－３＜ａ＜－２　……（１）
※ａ＋２が負のとき不等号の向きがかわるので、２通りに場合分けが必要

（イ）より、－１≦ｘ＜２
ａｘ＝３　ａは０でないとすると、
ｘ＝３／ａ　これを　－１≦ｘ＜２　に代入する
－１≦ｘのとき、－１≦３／ａ
ａ＞０のとき、
－ａ≦３
ａ≧－３　これはａ＞０に適さない。（範囲外になるところもある）
ａ＜０のとき、
－ａ≧３
ａ≦－３　これはａ＜０に適する。
共通部分は、ａ≦－３　……（２）

ｘ＜２のとき、３／ａ＜２
ａ＞０のとき、
３＜２ａ
３／２＜ａ　これはａ＞０に適する。
共通部分は、３／２＜ａ　……（３）
ａ＜０のとき、
３＞２ａ
３／２＞ａ　これはａ＜０に適さない。（範囲外になるところもある）

（ウ）より、
ａｘ＝２ｘ－１
（ａ－２）ｘ＝－１　ａは２でないとすると、
ｘ＝１／（２－ａ）　これを２≦ｘに代入して、
２≦１／（２－ａ）

２－ａ＞０　ａ＜２のとき、
２（２－ａ）≦１
ａ≧３／２　これはａ＜２に適する。
共通部分は、３／２≦ａ＜２　……（４）

２－ａ＜０　ａ＞２のとき
２（２－ａ）≧１
ａ≦３／２　これはａ＞２に適さない。

（１）～（４）を整理すると、ｙ＝ａｘは、
ａ≦－３のとき、右下がりのグラフで、ｙ＝３と交わる。
－３＜ａ＜－２のとき、右下がりのグラフで、ｙ＝－２ｘ＋１と交わる。
３／２≦ａ＜２のとき、右上がりのグラフで、ｙ＝２ｘ－１と交わる。
２＜ａのとき、右上がりのグラフで、ｙ＝３と交わる。

実際にグラフを描いてみると、ａの範囲によって、直線の様子が上のようになっています。