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既約テンソル演算子

添付画像のラストの式JiとTn(s)の交換関係の導出ができないでおります。 どうやったら導けるのかわかりません。おわかりの方がいましたら教えていただけると助かります。

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  • metzner
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回答No.1

こんにちは。 表現の種類sは固定されているので、以下見やすいために省きます。 RT_nR^(-1) = T_mD_mn(R) ----(*) という式のRに微小回転のRを代入し、微小パラメータの1次を比較するだけです。 R = I -iθ_aJ_a として、上式(*)の左辺を計算すると、 (I -iθ_aJ_a)T_n(I -iθ_aJ_a)^(-1) = (I -iθ_aJ_a)R(I +iθ_aJ_a) = T_n -iθ_a(J_aT_n - T_nJ_a)+O(θ_a^2) = T_n -iθ_a[J_a, T_n] + O(θ_a^2) 上の式で次の事実を使いました。 すなわち、Rはユニタリー演算子であることより、 RR^+ =I より、θ_aを実のパラメータとして、J_aはエルミート演算子であることが分かります。 よって (I -iθ_aJ_a)^(-1) = (I -iθ_aJ_a)^+ = (I +iθ_aJ_a) さて、(*)の右辺を計算すると、 T_mR(I-iθ_aJ_a) = T_m(E_mn -iθ_a(J_a)_mn) = T_n -iθ_aT_m(J_a)_mn ここでEは2s+1次の単位行列です。 よって微小パラメータθ_aの1次を比べて、 [J_a, T_n] = T_m(J_a)_mn を得ます。

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その他の回答 (1)

  • metzner
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回答No.2

No1です。書き間違いを訂正します。 上式(*)の左辺を計算で、 (I -iθ_aJ_a)T_n(I -iθ_aJ_a)^(-1) = (I -iθ_aJ_a)R(I +iθ_aJ_a) =... としましたが、2番目の式は (I -iθ_aJ_a)T_n(I +iθ_aJ_a) です。

msndance
質問者

お礼

遅れてすいません。読んで理解できました。 丁寧な数式導出ありがとうございます!

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