剛体に加速度を与えたときt秒後の位置と形

質問

長さが2の棒があるとします。
重心は真ん中です。
その棒が水平な面(xy平面)にあり、一端がA(1,0)、他端がB(-1,0)にあるとします。
すると、重心は(0、0)にあることになります。

点Aに噴射装置をつけ、点Ａに対してベクトルa=(a_1,a_2)の加速度を与え続けます。
点Ｂに噴射装置をつけ、点Ｂに対してベクトルb=(b_1,b_2)の加速度を与え続けます。
噴射装置は棒に固定されています。
つまり、棒が並進、回転したとき、棒の端に与える加速度ベクトルも、同様に並進、回転します。

このとき、剛体である棒はどういった動きをするのでしょうか。
時間0のとき、原点にあった棒の真ん中は、時間tではどの位置にあるのでしょうか。
時間0のとき、点Ａ(1,0)にあった棒の一端は、時間tではどの位置にあるのでしょうか。
摩擦や重力は考えないものとします。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

加速度を与えるという言い方はおかしいので、これは力に直し、
初期状態(時刻t=0)の力を

Fa(0)=(a_1,a_2), Fb(0)=(b_1,b_2)

とします。

ある時刻tで初期状態から棒がθ回転したとすると時刻tでの力は

Fa(t) = R[θ(t)]Fa(0), Fb(t) = R[θ(t)]Fb(0)

ただしR[θ]はベクトルのθ回転行列で

R[θ] =
[ cosθ, -sinθ ]
[ sinθ, cosθ ]

剛体の運動を重心の運動と重心まわりの回転に分けると、

重心の運動方程式 M d^2 R/dt^2 = Fa(t) + Fb(t)
回転の運動方程式 I d^2 θ/dt^2 = [ra(t)×Fa(t)]z + [rb(t)×Fb(t)]z

xy平面内の回転運動なのでz軸まわりの回転のみを扱う。
Iはz軸回りの慣性モーメント。

rとFの相互関係は時間によらず一定(共におなじ回転をする)なので、

[ra(t)×Fa(t)]z = [ra(0)×Fa(0)]z = 1×a2 - 0×a1 = a2
[rb(t)×Fb(t)]z = [rb(0)×Fb(0)]z = (-1)×b2 - 0×b1 = -b2

となり、これから

d^2 θ/dt^2 = (a2-b2)/I ∴　θ(t) = [(a2-b2)/2I]t^2

ただし初期条件としてθ(0)=0, dθ(0)/dt = 0を使っている。

これでθが時間の関数として求められたので重心の運動方程式に入れれば重心の運動が求められる。
ただし、そこで出てくる

sin ct^2, cos ct^2

のタイプの積分はフレネル積分と呼ばれるよく知られた積分で、数値解以外は求められません。

多分これであってると思いますけど。

お礼

教えていただきまことに感謝申し上げます。

今の理解は8割くらいですが、なんとか全部理解するべく努力しております。

ちなみに、3次元に拡張するとどうなるのか、これは一般的な話題として知られていることなのかもしれませんが、当方は何も知りません。
請謁ながら新しい質問を投稿いたしました。
可能であれば、どうかよろしくお願い申し上げます。