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重力加速度の測定について

高校2年物理選択のものです。 授業で「斜面を転がる金属球の加速度から、重力加速度の値を求める実験」というのをして、そのレポートをかかなくてはいけないのですが 重力加速度gを求める式の導き方がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか。 AB間の距離=l B点での速度(最速)=v として、 ■加速度aはvとlを用いて表すことができる ■加速度aは重力加速度gとsinθを用いて表すことができる ■sinθは、lとhを用いて表すことができる つまり、重力加速度gはv,l,hを用いて表すことができる。 ということらしいのですが 私が計算するとg=v^2/2hのような式になってしまい、どうしてもうまくいきません。 どなたかよろしくおねがいします。

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  • 物理学
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  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

「うまくいかない」というのはどういうことでしょう。 御質問の文章からだけでは分かりません。 式としてわからないということでしょうか。 測定値と式とが一致しないということでしょうか。 エネルギー保存則を用いるとすると mgh=(1/2)mv^2 となります。 2gh=v^2 ですからvとhを測るとgが出てきます。 θ、lは関係がありません。 実験をされたということですがvはどのようにして測られましたか。 得られたv、hの値を上の式に入れてgを求めるとかなり小さい値になると思います。 g=9.8m/s^2として予想されるvの値を求めて測定値と比べてもらっても食い違いが分かります。 実は斜面を転がる金属球に対して上のように考えるというのは誤っているのです。 上の式は摩擦のない斜面を転がらずに滑るという場合のものです。 運動エネルギーは重心の速度だけで表すことが出来ます。 斜面に摩擦があれば転がリます。この場合は回転運動のエネルギーが別に必要になります。 位置エネルギーの減少=重心の運動エネルギーの増加+重心周りの回転運動のエネルギーの増加+滑ることにより発生した摩擦熱 になります。 滑らずに転がるとします。 摩擦熱の発生はなくなります。 位置エネルギーは2つの運動エネルギーに分配されますので飛び出しの速さは回転を考えていない時に比べて小さくなります。 一様な密度の球の場合、分配の割合は5:2です。 エネルギー保存則は (5/7)gh=(1/2)v^2 になります。 この場合もθ、lは必要ありません。 滑らずに転がるという条件を実現するためには斜面がゆるくないといけません。摩擦はある程度大きくないと滑ります。でこぼこが目立ってもいけません。 ※なぜ5:2になるかという計算には慣性モーメントという量が必要です。

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質問者からの補足

htms42さん、ご回答ありがとうございます! 質問の仕方が悪くて申し訳ありません。 vは、球がBについたときに、ストップウォッチで 一定の距離Cまで(授業で実験をしたときは44cmでした)の時間をはかって計算で求めるというものでした。 実験の説明では、 この計算式ではg=9.8m/s^2よりもかなり小さい値になってしまうが、それはなぜなのか考察に書きなさい、ということだったんです。 それもわからなかったのですが、その前にgの求め方でつまずいてしまってそこだけ質問してしまいました。 説明が足らずごめんなさい。 どうして値が食い違ってしまうのかということも教えていただけて助かりました。本当にありがとうございます。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • g-space
  • ベストアンサー率44% (49/109)

 エネルギー保存則を使わないとすると次のようになります。  斜面を転がり落ちるのに要する時間をtとして、等加速度運動であるから(ですよね?)    v=at       (1)    l=(1/2)at^2   (2) (1)式よりt=v/a。これを(2)に代入して解くと、    a=v^2/(2l)    (A)  次いで、aは重力加速度の斜面方向の成分だから、    a=gsinθ     (B)  sinの定義により、    sinθ=h/l     (C) (C)を(B)のsinθに入れ、さらにこれを(A)のaに入れると    gh/l=v^2/(2l) よって、    g=v^2/(2h)

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質問者からのお礼

g-spaceさん、回答ありがとうございます。 g=v^2/(2h)で合っているのですね。求め方も書いていただけて嬉しいです。ありがとうございました!

  • 回答No.1
noname#137826
noname#137826

g = v^2 / (2h) であっていると思いますよ。 ・・・ということらしい、というご質問にある過程を経てもよいのでしょうが、もっと簡単な導出は、金属球の質量を m として、エネルギー保存則より mgh = mv^2 / 2 というものでしょう。 両辺を mh で割れば答えになります。

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質問者からのお礼

kaorineさん、回答ありがとうございます。 g = v^2 / (2h)であっているのですね、よかったです。 エネルギー保存法則から求める方法は知りませんでした。こっちの方が楽ですね!この式も書こうと思います。 ありがとうございました。

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